Verifique se
é grupo em relação a cada uma das seguintes leis de composição.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
, com a operação
é um grupo. Para isso precisamos checar os quatro axiomas de grupo: fechamento, associatividade, existência de elemento neutro e existência de inversos.
Passo 2
Fechamento: sejam
. Como
e
, temos
logo a operação fecha em
.
Passo 3
Associatividade: para quaisquer
,
e
Como a multiplicação em
é associativa,
e o mesmo em segunda coordenada. Logo a operação
é associativa.
Passo 4
Elemento neutro: procuramos
tal que para todo
Isso impõe
e
. Portanto o neutro é
.
Passo 5
Inversos: dado
, um inverso seria
com
Isso exige
e
. Em
só existe solução inteira quando
e
. Para outros inteiros não há inverso em
.