Verifique se Z x Z é grupo em relação a cada uma das seguintes leis de composição.
(a, b) De<a(c, d)=(a c, b d)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto ZtimesZ, com a operação
(a,b),De<a,(c,d) = (acdot c,;bcdot d),
é um grupo. Para isso precisamos checar os quatro axiomas de grupo: fechamento, associatividade, existência de elemento neutro e existência de inversos.

Passo 2

Fechamento: sejam (a,b),(c,d)inZtimesZ. Como acdot cinZ e bcdot dinZ, temos
(a,b),De<a,(c,d) = (acdot c,;bcdot d)inZtimesZ,
logo a operação fecha em ZtimesZ.

Passo 3

Associatividade: para quaisquer (a,b),(c,d),(e,f)inZtimesZ,
l((a,b),De<a,(c,d)r),De<a,(e,f) = (acdot c,;bcdot d),De<a,(e,f) = ((acdot c)cdot e,;(bcdot d)cdot f)
e
(a,b),De<al((c,d),De<a,(e,f)r) = (a,b),De<a,(ccdot e,;dcdot f) = (acdot(ccdot e),;bcdot(dcdot f))
Como a multiplicação em Z é associativa, (acdot c)cdot e = acdot(ccdot e) e o mesmo em segunda coordenada. Logo a operação De<a é associativa.

Passo 4

Elemento neutro: procuramos (e1,e2) tal que para todo (a,b)
(a,b),De<a,(e1,e2) = (acdot e1,;bcdot e2) = (a,b)
Isso impõe e1=1 e e2=1. Portanto o neutro é (1,1).

Passo 5

Inversos: dado (a,b)inZtimesZ, um inverso seria (x,y) com
(a,b),De<a,(x,y) = (acdot x,;bcdot y) = (1,1)
Isso exige acdot x = 1 e bcdot y = 1. Em Z só existe solução inteira quando a=pm1 e b=pm1. Para outros inteiros não há inverso em Z.

Resposta

ZtimesZ com a operação De<a não é grupo, pois nem todo elemento tem inverso em Z.

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