Determine as relações binárias a seguir, seus domínios, suas imagens e as relações inversas de cada uma, sendo os conjuntos A=-3,-2,-1,0,1,2 e B=-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4. Quais dessas relações poderiam ser consideradas funções de A em B?
R1=(x, y) in A times B / x+y=3

Passo 1

O enunciado define a relação
R1=(x,y)in Atimes Bmid x+y=3
com A=-3,-2,-1,0,1,2 e B=-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4.
Precisamos encontrar:
1. O conjunto de pares de R1.
2. O domínio dom(R1) e a imagem im(R1).
3. A relação inversa R1^-1 (e seu domínio e imagem).
4. Verificar se R1 é uma função de A em B.

Passo 2

Para cada xin A calculamos y=3-x e verificamos se yin B:
  • Se x=-3, então y=6notin B to descarta.
  • Se x=-2, então y=5notin B to descarta.
  • Se x=-1, então y=4in B to inclui (-1,4).
  • Se x=0, então y=3in B to inclui (0,3).
  • Se x=1, então y=2in B to inclui (1,2).
  • Se x=2, então y=1in B to inclui (2,1).
Logo
R1=(-1,4),,(0,3),,(1,2),,(2,1)

Passo 3

Extraindo domínio e imagem de R1:
dom(R1)=-1,0,1,2, im(R1)=1,2,3,4

Passo 4

A inversa é
R1^-1=(y,x)mid (x,y)in R1 =(4,-1),,(3,0),,(2,1),,(1,2)
Dessa forma
dom(R1^-1)=1,2,3,4, im(R1^-1)=-1,0,1,2

Passo 5

Para ser função de A em B, cada xin A deve aparecer em exatamente um par de R1. Aqui apenas quatro elementos de A estão relacionados ( -3 e -2 não aparecem), logo R1 não é função de A em B.

Resposta

R1=(-1,4),,(0,3),,(1,2),,(2,1) dom(R1)=-1,0,1,2 im(R1)=1,2,3,4 R1^-1=(4,-1),,(3,0),,(2,1),,(1,2) dom(R1^-1)=1,2,3,4 im(R1^-1)=-1,0,1,2 R1 não é função de A em B.

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