Determine as relações binárias a seguir, seus domínios, suas imagens e as relações inversas de cada uma, sendo os conjuntos A=-3,-2,-1,0,1,2 e B=-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4. Quais dessas relações poderiam ser consideradas funções de A em B?
R2=(x, y) in A times B / x^2=y^2

Passo 1

O enunciado dá
A=-3,-2,-1,0,1,2,
B=-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4
e a relação
R2=l(x,y)in Atimes Bmid x^2=y^2r
Precisamos encontrar a lista de pares de R2, seu domínio, sua imagem, a relação inversa R2^-1 e verificar se R2 é uma função de A em B.

Passo 2

Para ter x^2=y^2 basta y=pm x. Enumerando todos os xin A e os correspondentes yin B:
R2 =l(-3,-3),,(-3,3),,(-2,-2),,(-2,2),,(-1,-1),,(-1,1),,(0,0),,(1,-1),,(1,1),,(2,-2),,(2,2)r

Passo 3

O domínio é o conjunto de todos os xin A que aparecem em algum par de R2. Como para todo xin A existe pm xin B,
Dom(R2)=A=-3,-2,-1,0,1,2

Passo 4

A imagem é o conjunto de todos os yin B que aparecem em R2. Esses valores são
Im(R2)=-3,-2,-1,0,1,2,3

Passo 5

A relação inversa troca coordenadas (x,y)mapsto(y,x). Logo
R2^-1 =l(y,x)in Btimes Amid y^2=x^2r =l(-3,-3),(3,-3),(-2,-2),(2,-2),(-1,-1),(1,-1),(0,0),(-1,1),(1,1),(-2,2),(2,2)r

Passo 6

Para que R2 seja função de A em B, cada xin A deveria ter exatamente um yin B tal que (x,y)inR2. Mas, por exemplo, (-3,-3) e (-3,3) estão em R2, ou seja, -3 se relaciona com dois valores de B. Logo não há unicidade e R2 não é função.

Resposta

Domínio: -3,-2,-1,0,1,2
Imagem: -3,-2,-1,0,1,2,3
Relação inversa:
(-3,-3),(3,-3),(-2,-2),(2,-2),(-1,-1),(1,-1),(0,0),(-1,1),(1,1),(-2,2),(2,2)
Função? Não, pois não há unicidade de imagem para cada xin A.

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