Questão 01. (2,5 pontos) Calcule o valor de x sabendo que A(x, 1,1), B(1,-1,0) e C(2,1,-1) são vértices de um triângulo de área raiz322.

Passo 1

Estamos lidando com o triângulo de vértices A(x,1,1), B(1,−1,0) e C(2,1,−1). O conteúdo aqui é usar produto vetorial para calcular área de triângulo no espaço: a área é tfrac12 do módulo de ABtimesAC.

Passo 2

Para montar os vetores, subtraímos coordenadas: \
AB = B - A = (1 - x,,-1 - 1,,0 - 1) = (1 - x,,-2,,-1) e \
AC = C - A = (2 - x,,1 - 1,,-1 - 1) = (2 - x,,0,,-2).

Passo 3

Usando a regra de Sarrus (determinante 3×3) para o produto vetorial, temos: \
ABtimesAC = (4,,-x,,4 - 2x).

Passo 4

Agora calculamos o módulo via |v|=raizv1^2+v2^2+v3^2. Assim: \
|ABtimesAC| = raiz4^2 + (-x)^2 + (4-2x)^2 = raiz5x^2 - 16x + 32
E a área do triângulo é tfrac12 desse valor.

Passo 5

Igualamos a área obtida ao valor dado tfracraiz322. Ou seja: \
tfrac12raiz5x^2 - 16x + 32 = tfracraiz322
Multiplicando ambos os lados por 2 e elevando ao quadrado: \
5x^2 - 16x + 32 = 32Longrightarrow5x^2 - 16x = 0

Passo 6

Fatorando a equação quadrática: x(5x - 16) = 0. Logo x = 0 ou x = tfrac165.

Resposta

As soluções são x = 0 ou x = \tfrac{16}{5}.

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