Determine as relações binárias a seguir, seus domínios, suas imagens e as relações inversas de cada uma, sendo os conjuntos A=-3,-2,-1,0,1,2 e B=-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4. Quais dessas relações poderiam ser consideradas funções de A em B?
R3=(x, y) in A times B /(x-y)^2=1

Passo 1

O enunciado dá os conjuntos
A=-3,-2,-1,0,1,2 e B=-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4
e define a relação
R3=(x,y)in Atimes Bmid (x-y)^2=1
Precisamos achar explicitamente os pares de R3, seu domínio, sua imagem, sua relação inversa e verificar se é função de A em B.

Passo 2

A condição (x-y)^2=1 equivale a
x-y=1ou x-y=-1,
isto é,
y=x-1ou y=x+1
Para cada xin A calculamos y e só mantemos os pares com yin B:
x=-3 &: ;y=-4,-2, x=-2 &: ;y=-3,-1, x=-1 &: ;y=-2,,0, x=0 &: ;y=-1,,1, x=1 &: ;y=0,,2, x=2 &: ;y=1,,3
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R3 =(-3,-4),(-3,-2),(-2,-3),(-2,-1),(-1,-2),(-1,0),(0,-1),(0,1),(1,0),(1,2),(2,1),(2,3)

Passo 3

O domínio de R3 é o conjunto de todas as primeiras coordenadas dos pares, ou seja
Dom(R3)=-3,-2,-1,0,1,2=A

Passo 4

A imagem de R3 é o conjunto de todas as segundas coordenadas dos pares, ou seja
Im(R3)=-4,-3,-2,-1,0,1,2,3

Passo 5

A relação inversa R3^-1 troca cada par (x,y) por (y,x). Assim
R3^-1 =(-4,-3),(-2,-3),(-3,-2),(-1,-2),(-2,-1),(0,-1),(-1,0),(1,0),(0,1),(2,1),(1,2),(3,2)

Passo 6

Para ser função de A em B, cada xin A deveria estar em exatamente um par (x,y). Aqui cada x de A aparece em dois pares distintos (com y=x-1 e com y=x+1). Portanto R3 não é função de A em B.

Resposta

R3 =(-3,-4),(-3,-2),(-2,-3),(-2,-1),(-1,-2),(-1,0),(0,-1),(0,1),(1,0),(1,2),(2,1),(2,3)
Dom(R3)=-3,-2,-1,0,1,2, Im(R3)=-4,-3,-2,-1,0,1,2,3
R3^-1 =(-4,-3),(-2,-3),(-3,-2),(-1,-2),(-2,-1),(0,-1),(-1,0),(1,0),(0,1),(2,1),(1,2),(3,2)
R3 não é função de A em B.

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