Exercício 4.12 Cada uma das elipses consideradas abaixo está numa posição característica e tem centro na origem. Determinar a equação da curva, para as condições de cada caso:
Focos (-4,0) e (4,0), vértices (-5,0) e (5,0)

Passo 1

O enunciado dá uma elipse com centro na origem, focos em (-4,0) e (4,0) e vértices em (-5,0) e (5,0). O conteúdo é seções cônicas (elipse) e vamos usar a forma reduzida
x^2a^2 + y^2b^2 = 1,
além da relação entre os parâmetros a, b e c:
c^2 = a^2 - b^2

Passo 2

Como os vértices estão em (pm 5,0), a semi-distância maior é
a = 5
Como os focos estão em (pm 4,0), a semi-distância focal é
c = 4

Passo 3

Para encontrar b, uso
c^2 = a^2 - b^2
Substituindo a^2 = 25 e c^2 = 16, tenho
16 = 25 - b^2 Longrightarrow b^2 = 25 - 16 = 9

Passo 4

Substituindo a^2=25 e b^2=9 na equação padrão, a elipse fica
x^225 + y^29 = 1

Resposta

x^225 + y^29 = 1

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