Exercício 4.12 Cada uma das elipses consideradas abaixo está numa posição característica e tem centro na origem. Determinar a equação da curva, para as condições de cada caso:
Amplitude focal 5, vértices (-10,0) e (10,0)

Passo 1

O enunciado pede a equação de uma elipse centrada na origem, com eixo maior horizontal, dado que seus vértices são (-10,0) e (10,0) e a amplitude focal é 5. Vamos usar a forma padrão da elipse
x^2a^2 + y^2b^2 = 1
e a relação entre semi-eixo maior a, semi-eixo menor b e distância focal c:
c^2 = a^2 - b^2

Passo 2

Dos vértices (-10,0) e (10,0) concluímos que o semi-eixo maior vale
a = 10,
pois cada vértice está a 10 unidades do centro ao longo do eixo x.

Passo 3

A amplitude focal é a distância entre os dois focos, ou seja 2c = 5. Logo
c = 52 = 2,5

Passo 4

Usando a relação c^2 = a^2 - b^2 obtemos
b^2 = a^2 - c^2 = 10^2 - (2,5)^2 = 100 - 6,25 = 93,75 = 3754
Portanto a equação da elipse é
x^2100 + y^2tfrac3754 = 1
ou, simplificando o segundo termo,
x^2100 + 4,y^2375 = 1

Resposta

x^2100 + 4,y^2375 = 1

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