Quais das seguintes integrais abaixo são impróprias? Por quê?
(d) integral1^infty 1x+x^3 d x

Passo 1

O enunciado nos dá a integral
integral1^infty1x + x^3,dx
e pede para identificar se ela é imprópria e justificar. O conteúdo envolve a definição de integral imprópria e a distinção entre integrals de tipo I (intervalo infinito) e tipo II (integrando não limitado).

Passo 2

Uma integral é dita imprópria quando pelo menos uma das condições a seguir ocorre:
  1. O intervalo de integração é ilimitado (tem infty ou -infty como limite).
  2. O integrando não é limitado ou apresenta descontinuidade no intervalo de integração.

Passo 3

Analisando o integrando 1x + x^3=1x(1+x^2) em x>=1, vemos que x>0 e 1+x^2>0, logo o denominador nunca se anula nem fica infinito. Portanto não há nenhuma descontinuidade ou singularidade de tipo II.

Passo 4

Por outro lado, o limite superior da integração é infty, o que torna o intervalo de integração ilimitado. Isso caracteriza uma integral imprópria de tipo I.

Resposta

A integral integral1^infty1x + x^3,dx é imprópria porque o intervalo de integração é ilimitado no extremo superior (limite infty).

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