Quais das seguintes integrais abaixo são impróprias? Por quê?
(d)
(d)
Passo 1
O enunciado nos dá a integral
e pede para identificar se ela é imprópria e justificar. O conteúdo envolve a definição de integral imprópria e a distinção entre integrals de tipo I (intervalo infinito) e tipo II (integrando não limitado).
Passo 2
Uma integral é dita imprópria quando pelo menos uma das condições a seguir ocorre:
- O intervalo de integração é ilimitado (tem
ou como limite). - O integrando não é limitado ou apresenta descontinuidade no intervalo de integração.
Passo 3
Analisando o integrando
em
, vemos que
e
, logo o denominador nunca se anula nem fica infinito. Portanto não há nenhuma descontinuidade ou singularidade de tipo II.
Passo 4
Por outro lado, o limite superior da integração é
, o que torna o intervalo de integração ilimitado. Isso caracteriza uma integral imprópria de tipo I.
Resposta
A integral
é imprópria porque o intervalo de integração é ilimitado no extremo superior (limite
).