Utilize Decomposição em Frações Parciais para calcular as integrais abaixo.
(h) integral 3 x^2-x+8x^3+4 x d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral 3x^2-x+8x^3+4x,dx
usando decomposição em frações parciais. O conteúdo necessário é: fatorar o denominador, escrever a fração como soma de termos simples e integrar cada termo resultante.

Passo 2

Fatoramos o denominador
x^3+4x = x,(x^2+4)
e propomos a decomposição
3x^2-x+8x,(x^2+4) = Ax+Bx+Cx^2+4
Multiplicamos ambos os lados por x(x^2+4) para igualar numeradores:
3x^2-x+8 = A(x^2+4) + (Bx+C),x

Passo 3

Expandindo o lado direito:
Comparando coeficientes com
Da terceira equação vem e . Logo

Passo 4

Escrevemos a integral como soma de três termos:
integral 2x,dx + integral xx^2+4,dx - integral 1x^2+4,dx
Para cada um:
  1. integral 2x,dx = 2lnlvert xrvert
  2. Na segunda, use u=x^2+4, então du=2x,dx, logo integral xx^2+4,dx = 12integral duu = 12lnl(x^2+4r)
  3. Na terceira, como integral dxx^2+a^2 = 1aarctan!l(tfracxar), temos integral dxx^2+4 = 12arctan!l(tfracx2r)

Passo 5

Somando os resultados e lembrando do sinal menos no último termo:
2lnlvert xrvert + tfrac12lnl(x^2+4r) - tfrac12arctan!l(tfracx2r) + C

Resposta

2lnlvert xrvert + tfrac12lnl(x^2+4r) - tfrac12arctan!l(tfracx2r) + C

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