Determine a reparametrização da uma circunferência centrada na origem e de raio R.

Passo 1

O enunciado pede uma reparametrização de uma circunferência centrada na origem e de raio R. O conteúdo abordado é parametrização de curvas planas, onde usamos funções trigonométricas para descrever pontos (x,y) que satisfazem a equação da circunferência.

Passo 2

A equação cartesiana da circunferência é
x^2 + y^2 = R^2
Para percorrer todos os pontos dessa curva de maneira contínua, usamos as identidades trigonométricas
cos^2 t + sin^2 t = 1,
multiplicando por R^2 para ajustar o raio.

Passo 3

Definimos a parametrização padrão
gammacolon [0,2pi]toR^2, gamma(t)=l(Rcos t,;Rsin tr)
Ao variar t de 0 a 2pi, temos
l(Rcos tr)^2 + l(Rsin tr)^2 = R^2l(cos^2 t + sin^2 tr) = R^2,
logo gamma(t) percorre exatamente a circunferência de raio R.

Passo 4

O domínio natural é tin[0,2pi], o que garante que cada ponto da circunferência seja atingido uma vez, percorrendo-a no sentido anti-horário. Se quisermos o sentido horário, basta usar
tildegamma(t)=l(Rcos t,,-Rsin tr),
ainda com tin[0,2pi].

Passo 5

De forma geral, qualquer reparametrização válida é
Gamma(s)=gamma(a,s + b)
com a neq 0 e s variando num intervalo adequado de comprimento tfrac2pi|a|. Isso muda a velocidade de percorrida ou o ponto inicial sem alterar a forma da curva.

Resposta

A parametrização mais usada é
boxedgamma(t) = l(Rcos t,;Rsin tr), tin[0,2pi],
que percorre a circunferência de raio R no sentido anti-horário.

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