Determine a reparametrização da uma circunferência centrada na origem e de raio
.
Passo 1
O enunciado pede uma reparametrização de uma circunferência centrada na origem e de raio
. O conteúdo abordado é parametrização de curvas planas, onde usamos funções trigonométricas para descrever pontos
que satisfazem a equação da circunferência.
Passo 2
A equação cartesiana da circunferência é
Para percorrer todos os pontos dessa curva de maneira contínua, usamos as identidades trigonométricas
multiplicando por
para ajustar o raio.
Passo 3
Definimos a parametrização padrão
Ao variar
de
a
, temos
logo
percorre exatamente a circunferência de raio
.
Passo 4
O domínio natural é
, o que garante que cada ponto da circunferência seja atingido uma vez, percorrendo-a no sentido anti-horário. Se quisermos o sentido horário, basta usar
ainda com
.
Passo 5
De forma geral, qualquer reparametrização válida é
com
e
variando num intervalo adequado de comprimento
. Isso muda a velocidade de percorrida ou o ponto inicial sem alterar a forma da curva.
Resposta
A parametrização mais usada é
que percorre a circunferência de raio
no sentido anti-horário.