O pedido é: determinar a representação por integral de Fourier de f(x).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
f(x) é real e tem suporte compacto em [0,3] (ou seja, é zero fora de [0,3]).
Não foi especificado o valor em x=0 e x=3; para integrais de Fourier esses pontos de fronteira não alteram a representação (às descontinuidades a integral convergirá para a média dos limites laterais).
O objetivo é expressar f(x) como uma integral em frequência (forma complexa ou forma real com cosseno e seno).]
Passo 2
Qual método usar? Existem duas formas equivalentes comuns:
Forma complexa (exponencial): usar a transformada de Fourier F(\omega)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-i\omega t}\,dt e a inversa f(x)=\displaystyle\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} F(\omega)e^{i\omega x}\,d\omega.
Vou usar ambas brevemente: calculo F(\omega) (forma complexa, é direto) e em seguida mostro a forma real com os coeficientes a(\omega),b(\omega) explicitados — a forma real é especialmente amigável para funções reais e evita lidar com distribuições no zero.
Explicando as letras:
\omega é a frequência angular (variável de integração).
F(\omega) é a transformada (amplitude complexa em cada frequência).
a(\omega),b(\omega) são os coeficientes das componentes cosseno e seno; cada um é obtido por projeção de f nas funções \cos(\omega t) e \sin(\omega t).
Passo 3
Calcular a transformada complexa F(\omega). Como f(t)=0 fora de [0,3],
com F(\omega) dado no passo anterior. Essa é uma resposta correta e completa — se quiser a forma explícita em termos de funções reais (seno e cosseno), vamos calcular os coeficientes reais a(\omega) e b(\omega), o que fornece uma expressão muitas vezes mais didática para uma função real.
Essas expressões estão escritas de modo que em uma prova é fácil recalcular: sempre escolha u=t ao integrar t\cos ou t\sin; dá duas integrais simples que se avaliam nos limites 0 e 3.
Passo 5
Portanto a representação por integral de Fourier na forma real (seno-cosseno) é
Essa forma é adequada para uso direto em provas: para qualquer xreal, a integral acima converge (no sentido usual de integrais de Fourier) e reproduz f(x) (nos pontos de descontinuidade a convergência é para a média dos limites laterais).