Determine a representação por integral de Fourier da função indicada.
f(x)= \begin{cases}0, & x<0 \\\ x, & 0<x<3 \\\\ 0, & x>3\end{cases}

Passo 1

O enunciado dá a função em partes:
f(x)= \begin{cases}0, & x<0,\\[4pt] x, & 0<x<3,\\[4pt] 0, & x>3.\end{cases}
O pedido é: determinar a representação por integral de Fourier de f(x).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • f(x) é real e tem suporte compacto em [0,3] (ou seja, é zero fora de [0,3]).
  • Não foi especificado o valor em x=0 e x=3; para integrais de Fourier esses pontos de fronteira não alteram a representação (às descontinuidades a integral convergirá para a média dos limites laterais).
  • O objetivo é expressar f(x) como uma integral em frequência (forma complexa ou forma real com cosseno e seno).]

Passo 2

Qual método usar? Existem duas formas equivalentes comuns:
  • Forma complexa (exponencial): usar a transformada de Fourier F(\omega)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-i\omega t}\,dt e a inversa f(x)=\displaystyle\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} F(\omega)e^{i\omega x}\,d\omega.
  • Forma real (seno-cosseno): escrever
f(x)=\int_{0}^{\infty}\bigl(a(\omega)\cos(\omega x)+b(\omega)\sin(\omega x)\bigr)\,d\omega,
onde
a(\omega)=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\cos(\omega t)\,dt,\qquad b(\omega)=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\sin(\omega t)\,dt.
Vou usar ambas brevemente: calculo F(\omega) (forma complexa, é direto) e em seguida mostro a forma real com os coeficientes a(\omega),b(\omega) explicitados — a forma real é especialmente amigável para funções reais e evita lidar com distribuições no zero.
Explicando as letras:
  • \omega é a frequência angular (variável de integração).
  • F(\omega) é a transformada (amplitude complexa em cada frequência).
  • a(\omega),b(\omega) são os coeficientes das componentes cosseno e seno; cada um é obtido por projeção de f nas funções \cos(\omega t) e \sin(\omega t).

Passo 3

Calcular a transformada complexa F(\omega). Como f(t)=0 fora de [0,3],
F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-i\omega t}\,dt=\int_{0}^{3} t\,e^{-i\omega t}\,dt.
Esse integral resolve-se por integração por partes. Vou mostrar passo a passo (para \omega\neq0; o caso \omega=0 é tratado separadamente).
Escolho u=t e dv=e^{-i\omega t}dt. Então du=dt e v=\displaystyle -\frac{1}{i\omega}e^{-i\omega t}. Assim,
\int_{0}^{3} t\,e^{-i\omega t}\,dt = \left[-\frac{t}{i\omega}e^{-i\omega t}\right]_{0}^{3} + \int_{0}^{3}\frac{1}{i\omega}e^{-i\omega t}\,dt.
Calcule a segunda integral:
\int_{0}^{3}\frac{1}{i\omega}e^{-i\omega t}\,dt =\frac{1}{i\omega}\left[-\frac{1}{i\omega}e^{-i\omega t}\right]_{0}^{3} =\frac{1}{\omega^{2}}\bigl(e^{-i3\omega}-1\bigr).
Portanto, para \omega\neq0,
F(\omega)=e^{-i3\omega}\Bigl(-\frac{3}{i\omega}+\frac{1}{\omega^{2}}\Bigr)-\frac{1}{\omega^{2}}.
Para \omega=0 avaliamos diretamente F(0)=\displaystyle\int_{0}^{3} t\,dt=\frac{9}{2}. (A expressão acima tem limite \frac{9}{2} quando \omega\to0.)
Assim obtivemos F(\omega) explicitamente.

Passo 4

Agora escrevo a inversa complexa (representação por integral de Fourier):
f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} F(\omega)\,e^{i\omega x}\,d\omega,
com F(\omega) dado no passo anterior. Essa é uma resposta correta e completa — se quiser a forma explícita em termos de funções reais (seno e cosseno), vamos calcular os coeficientes reais a(\omega) e b(\omega), o que fornece uma expressão muitas vezes mais didática para uma função real.
Como f é real e tem suporte em [0,3],
a(\omega)=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{3} t\cos(\omega t)\,dt,\qquad b(\omega)=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{3} t\sin(\omega t)\,dt.
Calcule a(\omega) por partes (escolhendo u=t,\\ dv=\cos(\omega t)dt, então v=\tfrac{1}{\omega}\sin(\omega t)):
\int_{0}^{3} t\cos(\omega t)\,dt =\left[\frac{t}{\omega}\sin(\omega t)\right]_{0}^{3}-\int_{0}^{3}\frac{1}{\omega}\sin(\omega t)\,dt =\frac{3}{\omega}\sin(3\omega)+\frac{1}{\omega^{2}}\bigl(\cos(3\omega)-1\bigr).
Logo
a(\omega)=\frac{1}{\pi}\Bigl(\frac{3}{\omega}\sin(3\omega)+\frac{\cos(3\omega)-1}{\omega^{2}}\Bigr).
Calcule b(\omega) por partes (escolhendo u=t,\\ dv=\sin(\omega t)dt, então v=-\tfrac{1}{\omega}\cos(\omega t)):
\int_{0}^{3} t\sin(\omega t)\,dt =\left[-\frac{t}{\omega}\cos(\omega t)\right]_{0}^{3}+\int_{0}^{3}\frac{1}{\omega}\cos(\omega t)\,dt =-\frac{3}{\omega}\cos(3\omega)+\frac{1}{\omega^{2}}\sin(3\omega).
Logo
b(\omega)=\frac{1}{\pi}\Bigl(-\frac{3}{\omega}\cos(3\omega)+\frac{\sin(3\omega)}{\omega^{2}}\Bigr).
Essas expressões estão escritas de modo que em uma prova é fácil recalcular: sempre escolha u=t ao integrar t\cos ou t\sin; dá duas integrais simples que se avaliam nos limites 0 e 3.

Passo 5

Portanto a representação por integral de Fourier na forma real (seno-cosseno) é
f(x)=\int_{0}^{\infty}\Bigl(a(\omega)\cos(\omega x)+b(\omega)\sin(\omega x)\Bigr)\,d\omega,
com
a(\omega)=\frac{1}{\pi}\Bigl(\frac{3}{\omega}\sin(3\omega)+\frac{\cos(3\omega)-1}{\omega^{2}}\Bigr), \qquad b(\omega)=\frac{1}{\pi}\Bigl(-\frac{3}{\omega}\cos(3\omega)+\frac{\sin(3\omega)}{\omega^{2}}\Bigr).
Essa forma é adequada para uso direto em provas: para qualquer xreal, a integral acima converge (no sentido usual de integrais de Fourier) e reproduz f(x) (nos pontos de descontinuidade a convergência é para a média dos limites laterais).

Resposta

f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\biggl(e^{-i3\omega}\Bigl(-\frac{3}{i\omega}+\frac{1}{\omega^{2}}\Bigr)-\frac{1}{\omega^{2}}\biggr)e^{i\omega x}\,d\omega
\text{ou, na forma real,}\qquad f(x)=\int_{0}^{\infty}\Bigl(a(\omega)\cos(\omega x)+b(\omega)\sin(\omega x)\Bigr)\,d\omega,
\text{com}\qquad a(\omega)=\frac{1}{\pi}\Bigl(\frac{3}{\omega}\sin(3\omega)+\frac{\cos(3\omega)-1}{\omega^{2}}\Bigr), \quad b(\omega)=\frac{1}{\pi}\Bigl(-\frac{3}{\omega}\cos(3\omega)+\frac{\sin(3\omega)}{\omega^{2}}\Bigr).

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