O enunciado pede a representação por integral de Fourier da função f\) definida por partes:
\[f(x)=\begin{cases} 0, & x<0,\\[4pt] \operatorname{sen}x, & 0\le x\le\pi,\\[4pt] 0, & x>\pi. \end{cases}
Informações úteis que já temos de cara:
f\] é de suporte compacto: \(f(x)=0 fora do intervalo [0,\pi].
A tarefa é escrever f(x) como a transformada inversa de Fourier de sua transformada F(\omega); isto é, encontrar F(\omega)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-i\omega t}\,dt e depois usar a fórmula inversa
Aqui t é a variável de integração (tempo / posição), \omega é a frequência (variável da transformada) e i é a unidade imaginária. A transformada F(\omega) condensa a informação de f em frequências.
Essa fórmula vale sob hipóteses usuais (por exemplo f integrável e de crescimento controlado); aqui f tem suporte compacto, então está tudo certo. Na prática, às vezes aparecem pontos singulares na integral e ai a integral deve ser entendida como valor principal de Cauchy (p.v.). Vou calcular F(\omega) e inserir na inversa.
Passo 3
Cálculo direto de F(\omega). Como f(t)=0 fora de [0,\pi],
porque 1+e^{-i\omega\pi}=2e^{-i\omega\pi/2}\cos(\omega\pi/2).
Passo 4
Verificação e tratamento dos pontos \omega=\pm1 (singularidades aparentes). A fórmula tem denominador 1-\omega^{2}, que zera em \omega=\pm1, mas o numerador também zera aí, então temos uma forma 0/0. Devemos tomar limite:
Cálculo do limite em \omega=1: usar expansão em torno de 1 ou calcular diretamente a integral original para \omega=1:
Conclusão prática: F(\omega) dada pela expressão \dfrac{1+e^{-i\omega\pi}}{1-\omega^{2}} é válida para todo \omega se entendida no sentido do limite para \omega\to\pm1 (ou seja, tomar o valor limite \mp i\pi/2 nesses pontos). Na integral inversa, isso equivale a interpretar a integral como valor principal (p.v.) nos possíveis polos reais.
Passo 5
Aplicando a fórmula inversa e simplificando a expressão sob o integrando:
Substituo F(\omega)=\dfrac{1+e^{-i\omega\pi}}{1-\omega^{2}} em
onde “p.v.” indica que a integral é tomada como valor principal de Cauchy nas vizinhanças de \omega=\pm1. Essa é a representação por integral de Fourier pedida. (Alternativamente pode-se usar a forma com F(\omega)=\dfrac{2\cos(\tfrac{\omega\pi}{2})e^{-i\omega\pi/2}}{1-\omega^{2}} se preferir uma escrita que evidencie simetrias.)