Determine a representação por integral de Fourier da função indicada.
f(x)= \begin{cases}0, & x<\pi \\\\ 4, & \pi<x<2 \pi \\\\ 0, & x>2 \pi\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede: “Determine a representação por integral de Fourier da função indicada.”
A função dada é
f(x)= \begin{cases}0, & x<\pi \\[4pt] 4, & \pi<x<2\pi \\[4pt] 0, & x>2\pi\end{cases}
Informações relevantes fornecidas:
  • f(x) é uma função com suporte somente no intervalo (\pi,2\pi).
  • Em (\pi,2\pi) vale f(x)=4.
  • O objetivo é escrever f(x) como uma integral de Fourier (transformada inversa) usando a transformada de Fourier de f.]

Passo 2

Primeiro precisamos escolher e fixar a convenção de transformada de Fourier que vamos usar. Vou usar a convenção padrão compatível com muitas disciplinas:
\widehat{f}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\,e^{-i\omega t}\,dt
e a transformada inversa correspondente
f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\widehat{f}(\omega)\,e^{i\omega x}\,d\omega.
Explicando a fórmula: \widehat{f}(\omega) é a transformada de f no domínio de frequências; a variável \omega é a frequência angular; i é a unidade imaginária. Na inversa, multiplicamos por e^{i\omega x} e integramos sobre todas as frequências, com o fator de normalização 1/(2\pi).

Passo 3

Calcular a transformada \widehat{f}(\omega). Como f(t)=4 apenas em (\pi,2\pi) e é zero fora, a integral se reduz a esse intervalo:
\widehat{f}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\,e^{-i\omega t}\,dt = \int_{\pi}^{2\pi} 4\,e^{-i\omega t}\,dt.
Agora calcular a integral explicitamente. Usar a primitiva de e^{-i\omega t} que é \dfrac{e^{-i\omega t}}{-i\omega} (para \omega\neq0):
\widehat{f}(\omega)=4\left[\frac{e^{-i\omega t}}{-i\omega}\right]_{t=\pi}^{t=2\pi} =4\frac{e^{-i\omega \pi}-e^{-i\omega 2\pi}}{i\omega}.
Essa expressão também tem sentido no ponto \omega=0 por continuidade; trataremos esse caso com limite mais abaixo.

Passo 4

Simplificar \widehat{f}(\omega) usando identidades de exponenciais para deixar num formato mais conveniente. Observe a diferença de exponenciais:
e^{-i\omega \pi}-e^{-i\omega 2\pi} = e^{-i\omega \tfrac{3\pi}{2}}\bigl(e^{i\omega \tfrac{\pi}{2}}-e^{-i\omega \tfrac{\pi}{2}}\bigr) =2i\,e^{-i\omega \tfrac{3\pi}{2}}\sin\!\bigl(\tfrac{\omega\pi}{2}\bigr).
Substituindo em \widehat{f}(\omega):
\widehat{f}(\omega)=4\cdot\frac{2i\,e^{-i\omega \tfrac{3\pi}{2}}\sin\!\bigl(\tfrac{\omega\pi}{2}\bigr)}{i\omega} =8\,e^{-i\omega \tfrac{3\pi}{2}}\frac{\sin\!\bigl(\tfrac{\omega\pi}{2}\bigr)}{\omega}.
Aqui o fator i cancela. Essa forma é útil porque mostra claramente o comportamento em \omega\to0.

Passo 5

Verificar o valor em \omega=0 por continuidade (importante para a transformada):
\lim_{\omega\to0}\widehat{f}(\omega) =8\cdot e^{0}\cdot\lim_{\omega\to0}\frac{\sin\!\bigl(\tfrac{\omega\pi}{2}\bigr)}{\omega} =8\cdot 1\cdot\frac{\pi}{2}=4\pi.
Isso bate com a integral direta \widehat{f}(0)=\int_{\pi}^{2\pi}4\,dt=4\pi. Portanto a expressão acima é válida por continuidade em todo \omega.

Passo 6

Montar a representação inversa (a integral de Fourier) usando \widehat{f}(\omega). Pela fórmula inversa:
f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\widehat{f}(\omega)\,e^{i\omega x}\,d\omega.
Substituindo a forma encontrada para \widehat{f}(\omega):
f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} 8\,e^{-i\omega \tfrac{3\pi}{2}}\frac{\sin\!\bigl(\tfrac{\omega\pi}{2}\bigr)}{\omega}\,e^{i\omega x}\,d\omega.
Juntando os exponenciais:
f(x)=\frac{4}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty} e^{i\omega\left(x-\tfrac{3\pi}{2}\right)}\frac{\sin\!\bigl(\tfrac{\omega\pi}{2}\bigr)}{\omega}\,d\omega.

Passo 7

Apresentar uma forma real-equivalente (útil na prática). Note que g(\omega)=\dfrac{\sin(\tfrac{\omega\pi}{2})}{\omega} é função par e real. Então a parte imaginária da integral sobre (-\infty,\infty) com e^{i\omega a} se anula, e a integral complexa reduz a uma integral de cosseno:
f(x)=\frac{8}{\pi}\int_{0}^{\infty}\cos\!\bigl(\omega\bigl(x-\tfrac{3\pi}{2}\bigr)\bigr)\,\frac{\sin\!\bigl(\tfrac{\omega\pi}{2}\bigr)}{\omega}\,d\omega.
Essa é uma representação real por integral de Fourier (duas formas são equivalentes).

Passo 8

Comentário prático e verificação rápida: essas representações produzem f(x)=4 quando x\in(\pi,2\pi) e f(x)=0 fora, pois são exatamente a inversa da transformada que foi obtida integrando sobre o suporte. Além disso, o limite no integrando para \omega\to0 é regular, então não há singularidade (usando \lim_{\omega\to0}\sin(\tfrac{\omega\pi}{2})/\omega=\tfrac{\pi}{2}).

Resposta

f(x)=\frac{4}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty} e^{i\omega\left(x-\tfrac{3\pi}{2}\right)}\frac{\sin\!\bigl(\tfrac{\omega\pi}{2}\bigr)}{\omega}\,d\omega
\text{(equivalentemente)}\qquad f(x)=\frac{8}{\pi}\int_{0}^{\infty}\cos\!\bigl(\omega\bigl(x-\tfrac{3\pi}{2}\bigr)\bigr)\,\frac{\sin\!\bigl(\tfrac{\omega\pi}{2}\bigr)}{\omega}\,d\omega.

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