f(x) é uma função com suporte somente no intervalo (\pi,2\pi).
Em (\pi,2\pi) vale f(x)=4.
O objetivo é escrever f(x) como uma integral de Fourier (transformada inversa) usando a transformada de Fourier de f.]
Passo 2
Primeiro precisamos escolher e fixar a convenção de transformada de Fourier que vamos usar. Vou usar a convenção padrão compatível com muitas disciplinas:
Explicando a fórmula: \widehat{f}(\omega) é a transformada de f no domínio de frequências; a variável \omega é a frequência angular; i é a unidade imaginária. Na inversa, multiplicamos por e^{i\omega x} e integramos sobre todas as frequências, com o fator de normalização 1/(2\pi).
Passo 3
Calcular a transformada \widehat{f}(\omega). Como f(t)=4 apenas em (\pi,2\pi) e é zero fora, a integral se reduz a esse intervalo:
Apresentar uma forma real-equivalente (útil na prática). Note que g(\omega)=\dfrac{\sin(\tfrac{\omega\pi}{2})}{\omega} é função par e real. Então a parte imaginária da integral sobre (-\infty,\infty) com e^{i\omega a} se anula, e a integral complexa reduz a uma integral de cosseno:
Essa é uma representação real por integral de Fourier (duas formas são equivalentes).
Passo 8
Comentário prático e verificação rápida: essas representações produzem f(x)=4 quando x\in(\pi,2\pi) e f(x)=0 fora, pois são exatamente a inversa da transformada que foi obtida integrando sobre o suporte. Além disso, o limite no integrando para \omega\to0 é regular, então não há singularidade (usando \lim_{\omega\to0}\sin(\tfrac{\omega\pi}{2})/\omega=\tfrac{\pi}{2}).