Determine a representação por integral de Fourier da função indicada.
f(x)= \begin{cases}e^{x}, & \mid x<1 \\\\ 0, & \mid x>1\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede: “Determinar a representação por integral de Fourier da função indicada.” Vou entender a função como sendo, para todo x\), \[f(x)=\begin{cases} e^{x}, & |x|<1,\\[4pt] 0, & |x|>1. \end{cases}
(Os valores em x=\pm1\] não alteram a transformada e podem ser definidos arbitrariamente.) Informações relevantes dadas: - \(f é a função exponencial e^{x} no intervalo (-1,1) e zero fora.
- Precisamos encontrar a representação de f(x) como integral de Fourier (ou seja, calcular a transformada de Fourier e usar a fórmula de inversão).]

Passo 2

Definimos a transformada de Fourier e a fórmula de inversão que usaremos (convenção clássica):
\widehat{f}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\,e^{-i\omega t}\,dt,
f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\widehat{f}(\omega)\,e^{i\omega x}\,d\omega.
Explicando: \widehat{f}(\omega) é uma função complexa do parâmetro real \omega. A fórmula de inversão diz que, se \widehat{f} existe (por exemplo se f\in L^{1}), então f pode ser recuperada integrando \widehat{f}(\omega)e^{i\omega x} com o fator 1/(2\pi). Aqui i é a unidade imaginária e \omega é a frequência variável de integração.

Passo 3

Vamos calcular \widehat{f}(\omega) usando que f(t)=e^{t} apenas em [-1,1] e zero fora. Assim
\widehat{f}(\omega)=\int_{-1}^{1} e^{t}\,e^{-i\omega t}\,dt =\int_{-1}^{1} e^{(1-i\omega)t}\,dt.
Esta é uma integral de exponencial simples. A primitiva de e^{(1-i\omega)t} é \dfrac{e^{(1-i\omega)t}}{1-i\omega} (desde que 1-i\omega\neq0, o que é sempre verdadeiro para \omega\in\mathbb{R}). Portanto
\widehat{f}(\omega)=\left.\frac{e^{(1-i\omega)t}}{1-i\omega}\right|_{t=-1}^{t=1} =\frac{e^{(1-i\omega)\cdot 1}-e^{(1-i\omega)\cdot(-1)}}{1-i\omega}.

Passo 4

Simplificamos a expressão obtida para \widehat{f}(\omega). Escrevendo explicitamente:
\widehat{f}(\omega)=\frac{e^{1-i\omega}-e^{-1+i\omega}}{1-i\omega}.
Podemos separar a parte real e imaginária do numerador para visualizar melhor:
e^{1-i\omega}-e^{-1+i\omega} = e^{1}(\cos\omega - i\sin\omega)-e^{-1}(\cos\omega + i\sin\omega).
Agrupando termos reais e imaginários:
e^{1-i\omega}-e^{-1+i\omega} = \bigl(e-e^{-1}\bigr)\cos\omega \;-\; i\bigl(e+e^{-1}\bigr)\sin\omega.
Usando \operatorname{sinh}(1)=\tfrac{e-e^{-1}}{2} e \operatorname{cosh}(1)=\tfrac{e+e^{-1}}{2} fica
e^{1-i\omega}-e^{-1+i\omega}=2\operatorname{sinh}(1)\cos\omega \;-\; i\,2\operatorname{cosh}(1)\sin\omega.
Então uma forma alternativa é
\widehat{f}(\omega)=\frac{2\operatorname{sinh}(1)\cos\omega - i\,2\operatorname{cosh}(1)\sin\omega}{1-i\omega}.

Passo 5

Se for útil para integrar ou para olhar a parte real/imaginária separadamente, pode-se racionalizar o denominador multiplicando numerador e denominador por 1+i\omega:
\widehat{f}(\omega) =\frac{\bigl(e^{1-i\omega}-e^{-1+i\omega}\bigr)(1+i\omega)}{1+\omega^{2}}.
Essa forma expõe um denominador real 1+\omega^{2}, o que é conveniente para analisar decaimento em \omega.

Passo 6

Agora aplicamos a fórmula de inversão para escrever f(x) como integral de Fourier. Substituindo \widehat{f}(\omega) no integrando obtemos a representação desejada:
f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{1-i\omega}-e^{-1+i\omega}}{1-i\omega}\;e^{i\omega x}\,d\omega.
Esta é a representação por integral de Fourier na forma complexa. É uma resposta válida e direta: a transformada foi calculada e inserida na fórmula de inversão.

Passo 7

Para quem prefere uma forma “real” (só cossenos e senos), existe também a representação
f(x)=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\infty}\Bigl(a(\omega)\cos(\omega x)+b(\omega)\sin(\omega x)\Bigr)\,d\omega,
onde
a(\omega)=\int_{-1}^{1}e^{t}\cos(\omega t)\,dt,\qquad b(\omega)=\int_{-1}^{1}e^{t}\sin(\omega t)\,dt.
Essas integrais podem ser obtidas a partir de \widehat{f}(\omega) (são a parte real e a parte senoidal associada), mas a forma complexa do Passo 6 já é uma representação válida e compacta.

Resposta

f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{1-i\omega}-e^{-1+i\omega}}{1-i\omega}\;e^{i\omega x}\,d\omega

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