O enunciado pede: “Determinar a representação por integral de Fourier da função indicada.” Vou entender a função como sendo, para todo x\),
\[f(x)=\begin{cases} e^{x}, & |x|<1,\\[4pt] 0, & |x|>1. \end{cases}
(Os valores em x=\pm1\] não alteram a transformada e podem ser definidos arbitrariamente.)
Informações relevantes dadas:
- \(f é a função exponencial e^{x} no intervalo (-1,1) e zero fora.
- Precisamos encontrar a representação de f(x) como integral de Fourier (ou seja, calcular a transformada de Fourier e usar a fórmula de inversão).]
Passo 2
Definimos a transformada de Fourier e a fórmula de inversão que usaremos (convenção clássica):
Explicando: \widehat{f}(\omega) é uma função complexa do parâmetro real \omega. A fórmula de inversão diz que, se \widehat{f} existe (por exemplo se f\in L^{1}), então f pode ser recuperada integrando \widehat{f}(\omega)e^{i\omega x} com o fator 1/(2\pi). Aqui i é a unidade imaginária e \omega é a frequência variável de integração.
Passo 3
Vamos calcular \widehat{f}(\omega) usando que f(t)=e^{t} apenas em [-1,1] e zero fora. Assim
Esta é uma integral de exponencial simples. A primitiva de e^{(1-i\omega)t} é \dfrac{e^{(1-i\omega)t}}{1-i\omega} (desde que 1-i\omega\neq0, o que é sempre verdadeiro para \omega\in\mathbb{R}). Portanto
Se for útil para integrar ou para olhar a parte real/imaginária separadamente, pode-se racionalizar o denominador multiplicando numerador e denominador por 1+i\omega:
Essa forma expõe um denominador real 1+\omega^{2}, o que é conveniente para analisar decaimento em \omega.
Passo 6
Agora aplicamos a fórmula de inversão para escrever f(x) como integral de Fourier. Substituindo \widehat{f}(\omega) no integrando obtemos a representação desejada:
Esta é a representação por integral de Fourier na forma complexa. É uma resposta válida e direta: a transformada foi calculada e inserida na fórmula de inversão.
Passo 7
Para quem prefere uma forma “real” (só cossenos e senos), existe também a representação
Essas integrais podem ser obtidas a partir de \widehat{f}(\omega) (são a parte real e a parte senoidal associada), mas a forma complexa do Passo 6 já é uma representação válida e compacta.