Represente a função indicada por uma integral apropriada do co-seno ou do seno. f(x)=\left\{\begin{array}{rr}0, & x<-1 \\\\ -5, & -1<x<0 \\\\ 5, & 0<x<1 \\\\ 0, & x>1\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede que se represente a função indicada por uma integral apropriada do co-seno ou do seno. A função é dada por
f(x) é uma função peça‑por‑peça constante, com suporte (valores não nulos) apenas em (-1,1).
Para x em (0,1) vale f(x)=5; para x em (-1,0) vale f(x)=-5.
O objetivo é escrever f(x) como uma integral envolvendo seno ou cosseno (uma representação tipo integral de Fourier).]
Passo 2
Observação útil (sem resolver ainda): comparar simetrias. Para 0<x<1 temos f(-x)=-5=-f(x). Ou seja, f é uma função ímpar: \;f(-x)=-f(x) para todos x. Quando uma função é ímpar é natural usar uma representação com seno, porque o seno é função ímpar. Portanto vamos procurar uma representação por meio de uma transformada/inversa de seno (uma integral envolvendo \sin).
Passo 3
Apresentando a ferramenta que vamos usar (explicação didática):
A transformada seno de uma função g(t) (definida para t\ge0) é definida por
G(\omega) mede "quanto de frequência \omega" há na função g.
A inversão acrescenta as contribuições de todas as frequências (integrando em \omega) para recuperar g(x).
Aqui vamos aplicar isso com g=f restringida a t>0 (já que f é ímpar, a informação para t>0 determina a função inteira).
Passo 4
Calcular a transformada seno F_s(\omega) de f usando que f(t)=5 para 0<t<1 e f(t)=0 para t>1:
Pronto: essa é uma representação de f(x) por uma integral envolvendo \sin. Aqui \omega é a variável de frequência na integral, x é a variável onde avaliamos a função, e a expressão \dfrac{1-\cos\omega}{\omega} veio do cálculo da transformada seno.
Passo 6
Verificação rápida (usando identidades conhecidas) de que a integral recupera exatamente os valores da função peça‑por‑peça — isso consolida que a representação está correta:
Substituindo essas integrais na expressão de f(x) e avaliando as sgn conforme as regiões de x (por exemplo: para 0<x<1 obtém‑se f(x)=5; para -1<x<0 obtém‑se f(x)=-5; para |x|>1 obtém‑se f(x)=0), confirma‑se que a representação integral coincide com a definição peça‑por‑peça dada.