Represente a função indicada por uma integral apropriada do co-seno ou do seno.
f(x)=\left\{\begin{array}{rr}0, & x<-1 \\\\ -5, & -1<x<0 \\\\ 5, & 0<x<1 \\\\ 0, & x>1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede que se represente a função indicada por uma integral apropriada do co-seno ou do seno. A função é dada por
f(x)=\begin{cases} 0, & x<-1,\\[4pt] -5, & -1<x<0,\\[4pt] 5, & 0<x<1,\\[4pt] 0, & x>1. \end{cases}
Informações relevantes que temos do enunciado:
  • f(x) é uma função peça‑por‑peça constante, com suporte (valores não nulos) apenas em (-1,1).
  • Para x em (0,1) vale f(x)=5; para x em (-1,0) vale f(x)=-5.
  • O objetivo é escrever f(x) como uma integral envolvendo seno ou cosseno (uma representação tipo integral de Fourier).]

Passo 2

Observação útil (sem resolver ainda): comparar simetrias. Para 0<x<1 temos f(-x)=-5=-f(x). Ou seja, f é uma função ímpar: \;f(-x)=-f(x) para todos x. Quando uma função é ímpar é natural usar uma representação com seno, porque o seno é função ímpar. Portanto vamos procurar uma representação por meio de uma transformada/inversa de seno (uma integral envolvendo \sin).

Passo 3

Apresentando a ferramenta que vamos usar (explicação didática):
  • A transformada seno de uma função g(t) (definida para t\ge0) é definida por
G(\omega)=\int_{0}^{\infty} g(t)\,\sin(\omega t)\,dt,
onde \omega é a variável de frequência (aqui \omega\ge0) e t é a variável de integração no domínio original.
  • A fórmula de inversão adequada para reconstruir uma função ímpar g a partir de G é
g(x)=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\infty} G(\omega)\,\sin(\omega x)\,d\omega.
Explicação curta do que cada coisa significa:
  • G(\omega) mede "quanto de frequência \omega" há na função g.
  • A inversão acrescenta as contribuições de todas as frequências (integrando em \omega) para recuperar g(x).
    Aqui vamos aplicar isso com g=f restringida a t>0 (já que f é ímpar, a informação para t>0 determina a função inteira).

Passo 4

Calcular a transformada seno F_s(\omega) de f usando que f(t)=5 para 0<t<1 e f(t)=0 para t>1:
F_s(\omega)=\int_{0}^{\infty} f(t)\,\sin(\omega t)\,dt =\int_{0}^{1} 5\,\sin(\omega t)\,dt.
Integramos passo a passo: a primitiva de \sin(\omega t) em t é -\dfrac{\cos(\omega t)}{\omega}. Logo
F_s(\omega)=5\left[-\frac{\cos(\omega t)}{\omega}\right]_{t=0}^{t=1} =5\left(-\frac{\cos\omega}{\omega} + \frac{\cos 0}{\omega}\right) =5\left(\frac{1-\cos\omega}{\omega}\right).
Portanto
F_s(\omega)=\frac{5\bigl(1-\cos\omega\bigr)}{\omega}.

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula de inversão por seno para recuperar f(x):
f(x)=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\infty} F_s(\omega)\,\sin(\omega x)\,d\omega =\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\infty}\frac{5\bigl(1-\cos\omega\bigr)}{\omega}\,\sin(\omega x)\,d\omega.
Simplificando a constante:
f(x)=\frac{10}{\pi}\int_{0}^{\infty}\frac{1-\cos\omega}{\omega}\,\sin(\omega x)\,d\omega.
Pronto: essa é uma representação de f(x) por uma integral envolvendo \sin. Aqui \omega é a variável de frequência na integral, x é a variável onde avaliamos a função, e a expressão \dfrac{1-\cos\omega}{\omega} veio do cálculo da transformada seno.

Passo 6

Verificação rápida (usando identidades conhecidas) de que a integral recupera exatamente os valores da função peça‑por‑peça — isso consolida que a representação está correta:
  • Identidade útil: para \alpha\in\mathbb{R},
\int_{0}^{\infty}\frac{\sin(\alpha\omega)}{\omega}\,d\omega=\frac{\pi}{2}\operatorname{sgn}(\alpha),
onde \operatorname{sgn}(\alpha)=1 se \alpha>0, \operatorname{sgn}(\alpha)=0 se \alpha=0 e \operatorname{sgn}(\alpha)=-1 se \alpha<0.
  • Usando a identidade trigonométrica
\cos\omega\,\sin(\omega x)=\tfrac{1}{2}\bigl(\sin(\omega(x+1))+\sin(\omega(x-1))\bigr),
temos
\int_{0}^{\infty}\frac{\cos\omega\,\sin(\omega x)}{\omega}\,d\omega =\tfrac{1}{2}\left(\int_{0}^{\infty}\frac{\sin(\omega(x+1))}{\omega}\,d\omega +\int_{0}^{\infty}\frac{\sin(\omega(x-1))}{\omega}\,d\omega\right).
Substituindo essas integrais na expressão de f(x) e avaliando as sgn conforme as regiões de x (por exemplo: para 0<x<1 obtém‑se f(x)=5; para -1<x<0 obtém‑se f(x)=-5; para |x|>1 obtém‑se f(x)=0), confirma‑se que a representação integral coincide com a definição peça‑por‑peça dada.

Resposta

f(x)=\frac{10}{\pi}\int_{0}^{\infty}\frac{1-\cos\omega}{\omega}\,\sin(\omega x)\,d\omega

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