Represente a função indicada por uma integral apropriada do co-seno ou do seno.
f(x)= \begin{cases}|x|, & |x|<\pi \\\\ 0, & |x|>\pi\end{cases}

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)=\begin{cases} |x|, & |x|<\pi,\\[4pt] 0, & |x|>\pi, \end{cases}
e pede para representá-la por uma integral apropriada do cosseno ou do seno.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • A função tem suporte contido em [-\pi,\pi] (é nula fora desse intervalo).
  • Para x em [0,\pi) vale f(x)=x; para x em (-\pi,0] vale f(x)=-x. Assim f é uma função par (even), isto é, f(-x)=f(x) para todo x.
  • O que se pede: escrever f(x) como uma integral envolvendo apenas cosseno ou apenas seno (ou seja, uma representação por transformada de cosseno ou de seno).]

Passo 2

Escolha do tipo de representação (explicação didática e intuitiva).
  • Como f é uma função par (mesma para x e -x), a representação mais natural usa cossenos, porque o cosseno é função par e as séries/integral em cosseno combinam naturalmente com funções pares.
  • A ideia: toda função par adequada pode ser escrita como uma integral do tipo
f(x)=\int_{0}^{\infty}A(\omega)\cos(\omega x)\,d\omega,
onde A(\omega) é a “transformada cosseno” de f. A fórmula que usaremos para A(\omega) é
A(\omega)=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\infty} f(t)\cos(\omega t)\,dt.
Aqui:
  • \omega é a variável de frequência (real, \omega\ge0);
  • t é a variável de integração (posição);
  • A(\omega) é um coeficiente dependente de \omega que serve de “peso” para \cos(\omega x).
Observação prática: como f(t)=0 para t>\pi, o integral em A(\omega) reduz-se a um integral sobre [0,\pi].

Passo 3

Aplicar a fórmula de A(\omega) ao nosso f. Como para t\in[0,\pi] temos f(t)=t, obtemos
A(\omega)=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} t\cos(\omega t)\,dt.
Agora precisamos calcular o integral
I(\omega)=\int_{0}^{\pi} t\cos(\omega t)\,dt.

Passo 4

Cálculo do integral I(\omega) por partes (passo a passo).
  • Tomar u=t e dv=\cos(\omega t)\,dt.
  • Então du=dt e v=\dfrac{1}{\omega}\sin(\omega t) (válido para \omega\neq 0; trataremos \omega=0 separadamente).
    Pela fórmula de integração por partes,
I(\omega)=\Bigl. t\cdot \frac{1}{\omega}\sin(\omega t)\Bigr|_{0}^{\pi} - \int_{0}^{\pi} \frac{1}{\omega}\sin(\omega t)\,dt.
Avaliaremos os termos:
  • O termo de fronteira é
\Bigl. t\cdot \frac{1}{\omega}\sin(\omega t)\Bigr|_{0}^{\pi} = \frac{\pi}{\omega}\sin(\omega\pi) - 0.
  • O segundo integral é
\int_{0}^{\pi} \frac{1}{\omega}\sin(\omega t)\,dt = \frac{1}{\omega}\Bigl[-\frac{1}{\omega}\cos(\omega t)\Bigr]_{0}^{\pi} = -\frac{1}{\omega^{2}}\bigl(\cos(\omega\pi)-\cos 0\bigr).
Portanto, juntando,
I(\omega)=\frac{\pi}{\omega}\sin(\omega\pi) + \frac{1}{\omega^{2}}\bigl(\cos(\omega\pi)-1\bigr).

Passo 5

Substituir I(\omega) em A(\omega) e simplificar.
A(\omega)=\frac{2}{\pi}I(\omega) =\frac{2}{\pi}\left(\frac{\pi}{\omega}\sin(\omega\pi)+\frac{1}{\omega^{2}}\bigl(\cos(\omega\pi)-1\bigr)\right).
Simplificando os fatores,
A(\omega)=\frac{2}{\omega}\sin(\omega\pi)+\frac{2}{\pi}\cdot\frac{\cos(\omega\pi)-1}{\omega^{2}}.
Tratamento do caso \omega=0 (continuidade e valor no ponto):
  • Directamente, pela definição,
A(0)=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} t\,dt=\frac{2}{\pi}\cdot\frac{\pi^{2}}{2}=\pi.
  • Verificamos que o limite de A(\omega) quando \omega\to 0 dá o mesmo valor (usar séries de Taylor: \sin(\omega\pi)\sim\omega\pi e \cos(\omega\pi)-1\sim -\tfrac{(\omega\pi)^{2}}{2}), então a expressão anterior estende-se continuamente a \omega=0 com A(0)=\pi.

Passo 6

Escrever a representação final de f(x) como integral em cossenos.
Com o A(\omega) encontrado, a representação é
f(x)=\int_{0}^{\infty} A(\omega)\cos(\omega x)\,d\omega,
ou explicitando A(\omega),
f(x)=\int_{0}^{\infty}\left(\frac{2}{\omega}\sin(\omega\pi)+\frac{2}{\pi}\cdot\frac{\cos(\omega\pi)-1}{\omega^{2}}\right)\cos(\omega x)\,d\omega,
com a interpretação contínua em \omega=0 (valor A(0)=\pi).
Observação final e alternativa de forma: a segunda parcela pode-se reescrever usando \cos(\omega\pi)-1=-2\sin^{2}\!\bigl(\tfrac{\omega\pi}{2}\bigr), ficando
A(\omega)=\frac{2}{\omega}\sin(\omega\pi)-\frac{4}{\pi}\cdot\frac{\sin^{2}\!\bigl(\tfrac{\omega\pi}{2}\bigr)}{\omega^{2}},
se isso for mais conveniente.

Resposta

f(x)=\int_{0}^{\infty}\left(\frac{2}{\omega}\sin(\omega\pi)+\frac{2}{\pi}\cdot\frac{\cos(\omega\pi)-1}{\omega^{2}}\right)\cos(\omega x)\,d\omega

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