e pede para representá-la por uma integral apropriada do cosseno ou do seno.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
A função tem suporte contido em [-\pi,\pi] (é nula fora desse intervalo).
Para x em [0,\pi) vale f(x)=x; para x em (-\pi,0] vale f(x)=-x. Assim f é uma função par (even), isto é, f(-x)=f(x) para todo x.
O que se pede: escrever f(x) como uma integral envolvendo apenas cosseno ou apenas seno (ou seja, uma representação por transformada de cosseno ou de seno).]
Passo 2
Escolha do tipo de representação (explicação didática e intuitiva).
Como f é uma função par (mesma para x e -x), a representação mais natural usa cossenos, porque o cosseno é função par e as séries/integral em cosseno combinam naturalmente com funções pares.
A ideia: toda função par adequada pode ser escrita como uma integral do tipo
Verificamos que o limite de A(\omega) quando \omega\to 0 dá o mesmo valor (usar séries de Taylor: \sin(\omega\pi)\sim\omega\pi e \cos(\omega\pi)-1\sim -\tfrac{(\omega\pi)^{2}}{2}), então a expressão anterior estende-se continuamente a \omega=0 com A(0)=\pi.
Passo 6
Escrever a representação final de f(x) como integral em cossenos.
Com o A(\omega) encontrado, a representação é
com a interpretação contínua em \omega=0 (valor A(0)=\pi).
Observação final e alternativa de forma: a segunda parcela pode-se reescrever usando \cos(\omega\pi)-1=-2\sin^{2}\!\bigl(\tfrac{\omega\pi}{2}\bigr), ficando