Nos Problemas 21-24, use o teorema binomial*
(A+B)^n=A^n & +n1! A^n-1 B+n(n-1)2! A^n-2 B^2+cdots & +n(n-1)(n-2) cdots(n-k+1)k! A^n-k B^k+cdots+B^n
onde n=1,2,3, ldots, para escrever o número dado na forma a+i b.

Passo 1

O enunciado pede para calcular l(1-tfrac12 ir)^3 na forma a+ib usando o teorema binomial. O conteúdo é o teorema binomial para potências inteiras e as propriedades dos números imaginários ( i^2=-1, i^3=-i).

Passo 2

Identificamos as variáveis do binômio: A=1, B=-tfrac12 i e n=3.

Passo 3

Aplicamos o teorema binomial para n=3:
(A+B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3
Substituindo A=1 e B=-tfrac12 i.

Passo 4

Calculamos cada termo:
  • A^3 = 1^3 = 1.
  • 3A^2B = 3 cdot 1^2 cdot (-tfrac12 i) = -tfrac32 i.
  • 3AB^2 = 3 cdot 1 cdotl(-tfrac12 ir)^2 = 3 cdot tfrac14 i^2 = 3 cdot tfrac14(-1) = -tfrac34.
  • B^3 = l(-tfrac12 ir)^3 = (-tfrac12)^3 cdot i^3 = -tfrac18 cdot(-i) = tfrac18 i.

Passo 5

Agora somamos as partes real e imaginária separadamente:
  • Parte real: 1 - tfrac34 = tfrac14.
  • Parte imaginária: -tfrac32 + tfrac18 = -tfrac128 + tfrac18 = -tfrac118.
    Portanto o resultado é tfrac14 - tfrac118i.

Resposta

tfrac14 - tfrac118i

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