Determine uma representação parametrizada para a superfície.
O plano que passa pela origem que contém os vetores \mathbf{i}-\mathbf{j} e \mathbf{j}-\mathbf{k}

Passo 1

O enunciado pede uma representação paramétrica do plano em \mathbb{R}^3 que passa pela origem e contém os vetores \mathbf{i}-\mathbf{j} e \mathbf{j}-\mathbf{k}. O conteúdo usado será a parametrização de um plano a partir de dois vetores diretores.

Passo 2

Para parametrizar um plano que passa por um ponto \mathbf{r}_0 e é gerado linearmente por dois vetores \mathbf{a} e \mathbf{b}, usamos
\mathbf{r}(u,v)=\mathbf{r}_0 + u\,\mathbf{a} + v\,\mathbf{b},
onde u,v\in\mathbb{R}.

Passo 3

Aqui \mathbf{r}_0=(0,0,0), \mathbf{a}=\mathbf{i}-\mathbf{j}=(1,-1,0)
e \mathbf{b}=\mathbf{j}-\mathbf{k}=(0,1,-1).
Logo,
\mathbf{r}(u,v) = u\,(1,-1,0) + v\,(0,1,-1) = \bigl(u,\,-u+v,\,-v\bigr),
com u,v\in\mathbb{R}.

Resposta

Uma parametrização do plano é
\mathbf{r}(u,v)=u\,(\mathbf{i}-\mathbf{j})+v\,(\mathbf{j}-\mathbf{k}) \quad\longleftrightarrow\quad \bigl(u,\,-u+v,\,-v\bigr),
onde u,v\in\mathbb{R}.

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