1. \quad \mathbf{F}(x, y, z)=x^{2} y z \mathbf{i}+x y^{2} z \mathbf{j}+x y z^{2} \mathbf{k}, S é a superfície da caixa delimitada pelos planos x=0, x=a, y =0, y=b, z=0 e z=c, onde a, b e c são números positivos

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
\mathbf{F}(x,y,z)=x^{2}yz\,\mathbf{i}+xy^{2}z\,\mathbf{j}+xyz^{2}\,\mathbf{k}
e a superfície fechada S de uma caixa delimitada pelos planos x=0, x=a, y=0, y=b, z=0 e z=c, com a,b,c>0. Pede-se o fluxo de \mathbf{F} através de S. Vamos usar o Teorema da Divergência (Gauss).

Passo 2

Calcular a divergência de \mathbf{F}:
\nabla\!\cdot\mathbf{F} =\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}yz) +\frac{\partial}{\partial y}(xy^{2}z) +\frac{\partial}{\partial z}(xyz^{2}) =2xyz+2xyz+2xyz=6xyz.

Passo 3

Pelo Teorema da Divergência,
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS =\iiint_{V}(\nabla\!\cdot\mathbf{F})\,dV,
onde
V=\{(x,y,z)\mid 0\le x\le a,\;0\le y\le b,\;0\le z\le c\}.

Passo 4

Montamos a integral tripla:
\iiint_{V}6xyz\,dV =6\int_{0}^{a}\!\int_{0}^{b}\!\int_{0}^{c}x\,y\,z\;dz\,dy\,dx.
Como as variáveis são independentes:
\int_{0}^{a}x\,dx=\frac{a^{2}}{2},\quad \int_{0}^{b}y\,dy=\frac{b^{2}}{2},\quad \int_{0}^{c}z\,dz=\frac{c^{2}}{2}.
Logo
6\cdot\frac{a^{2}}{2}\cdot\frac{b^{2}}{2}\cdot\frac{c^{2}}{2} =\frac{6\,a^{2}b^{2}c^{2}}{8} =\frac{3\,a^{2}b^{2}c^{2}}{4}.

Resposta

\boxed{\frac{3}{4}\,a^{2}b^{2}c^{2}}

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