Faça uma correspondência entre as equações e os gráficos identificados por I-VI e justifique sua resposta. Determine quais famílias de curvas da grade têm u constante e quais têm v constante.
\mathbf{r}(u, v)=u \cos v \mathbf{i}+u \operatorname{sen} v \mathbf{j}+v \mathbf{k}

Passo 1

O enunciado pede para associar seis equações (ou seis curvas geradas pela parametrização
\mathbf{r}(u,v)=u\cos v\,\mathbf{i}+u\sin v\,\mathbf{j}+v\,\mathbf{k}
) aos seis gráficos numerados de I a VI, além de identificar quais famílias de curvas da “grade” são dadas por u= constante e quais por v= constante. Para resolver isso, precisaríamos examinar cada gráfico e reconhecer se ele corresponde a linhas de nível de u ou de v na superfície helicoidal dada.

Passo 2

Sem os seis gráficos (I–VI) não há como distinguir visualmente as curvas de u= constante (círculos horizontais transladando-se em z) das curvas de v= constante (linhas helicoidais). Logo, não é possível fazer a correspondência nem classificar as famílias de curvas sem as imagens.

Resposta

Não é possível resolver a correspondência nem identificar as famílias de curvas sem os gráficos I–VI fornecidos.

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