Use um computador para traçar o gráfico da superfície parametrizada. Imprima o resultado e indique sobre essa impressão quais são as curvas da grade que têm u constante e quais têm v constante.
x=\operatorname{sen} u, \quad y=\cos u \operatorname{sen} v, \quad z=\operatorname{sen} v,
0 \leqslant u \leqslant 2 \pi, \quad 0 \leqslant v \leqslant 2 \pi

Passo 1

O enunciado pede para traçar, com auxílio de um computador, a superfície parametrizada por
x=\sin u,\quad y=\cos u\;\sin v,\quad z=\sin v,
com 0\le u\le2\pi e 0\le v\le2\pi, e depois identificar, na impressão desse gráfico, quais curvas da grade têm u constante e quais têm v constante. O conteúdo é parametrização de superfícies e visualização de linhas de parâmetros sobre essa superfície.

Passo 2

Para gerar o gráfico num software (por exemplo Python/matplotlib ou MATLAB), montamos uma malha em (u,v), calculamos (x,y,z) e usamos um wireframe. Em Python seria algo como:
\begin{aligned} &\texttt{import numpy as np}\\\ &\texttt{import matplotlib.pyplot as plt}\\\ &\texttt{from mpl\_toolkits.mplot3d import Axes3D}\\\ &u = \texttt{np.linspace}(0,2\pi,50)\\\ &v = \texttt{np.linspace}(0,2\pi,50)\\\ &U,V = \texttt{np.meshgrid}(u,v)\\\ &X = \sin(U)\\\ &Y = \cos(U)*\sin(V)\\\ &Z = \sin(V)\\\ &\texttt{fig = plt.figure()}\\\ &\texttt{ax = fig.add\_subplot(111,projection='3d')}\\\ &\texttt{ax.plot\_wireframe}(X,Y,Z, rstride=5, cstride=5)\\\ &\texttt{ax.set\_xlabel('x')},\;\texttt{ax.set\_ylabel('y')},\;\texttt{ax.set\_zlabel('z')}\\\ &\texttt{plt.show()} \end{aligned}
Isso produz a superfície com uma grade de curvas (linhas do wireframe).

Passo 3

Análise das curvas de grade:
— Se u=u_0 (fixo) e v varia, temos
x=\sin u_0\quad(\text{constante}),\quad y=\cos u_0\;\sin v,\quad z=\sin v.
Na reta vertical do plano x=\sin u_0, y e z satisfazem y=\cos u_0\,z. Ou seja, cada curva u=const é um segmento de reta (meridiano) no plano x=\sin u_0, indo de (x,y,z)=(\sin u_0,0,0) até (\sin u_0,\pm\cos u_0,\pm1).

Passo 4

— Se v=v_0 (fixo) e u varia, temos
x=\sin u,\quad y=\cos u\;\sin v_0,\quad z=\sin v_0\quad(\text{constante}).
No plano horizontal z=\sin v_0, essas curvas satisfazem
x^2+\bigl(y/\sin v_0\bigr)^2=1,
ou seja, elipses (paralelos) contidas no plano z=\sin v_0.
Na impressão do wireframe:
  • As curvas que aparecem como “círculos”/elipses horizontais (curvas paralelas ao plano xy) são as de v= constante.
  • As curvas que ligam essas elipses, descendo e subindo ao longo da superfície (parecendo traços de meridiano) são as de u= constante.

Resposta

Na impressão do gráfico:
– As curvas “horizontais” (elipses em planos z= constante) correspondem a v= constante.
– As curvas “verticais” (segmentos retos em planos x= constante) correspondem a u= constante.

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