Determine a representação em série de potências das seguintes funções e identifique seu intervalo de convergência:
(f(x)=\frac{1}{1+9 x^{2}}\
(f(x)=\frac{1}{1+9 x^{2}}\
Passo 1
A questão pede para a gente encontrar a representação em série de potências de
e indicar seu intervalo de convergência. O assunto aqui é séries de potências e vamos usar a expansão geométrica para resolver.
Passo 2
Repare que podemos escrever
e a série geométrica nos diz que, para
, vale
Aqui basta tomar
.
Passo 3
Substituindo
na série geométrica obtemos
Passo 4
Agora, para convergência, precisamos de
, ou seja:
Nos extremos
os termos não tendem a zero (ficam alternando
), então a série diverge ali. Portanto o intervalo de convergência é
.
Resposta
A série de potências é
e ela converge para