Determine a representação em série de potências das seguintes funções e identifique seu intervalo de convergência:
(f(x)=\frac{1}{1+9 x^{2}}\

Passo 1

A questão pede para a gente encontrar a representação em série de potências de f(x)=11+9x^2 e indicar seu intervalo de convergência. O assunto aqui é séries de potências e vamos usar a expansão geométrica para resolver.

Passo 2

Repare que podemos escrever
11+9x^2=11-(-9x^2)
e a série geométrica nos diz que, para |y|<1, vale
11-y=sumn=0^inftyy^n
Aqui basta tomar y=-9x^2.

Passo 3

Substituindo y=-9x^2 na série geométrica obtemos
11+9x^2=sumn=0^infty(-9x^2)^n =sumn=0^infty(-1)^n9^n x^2n

Passo 4

Agora, para convergência, precisamos de |y|<1, ou seja:
|-9x^2|<1Longrightarrow9x^2<1Longrightarrow|x|<13
Nos extremos x=pm1/3 os termos não tendem a zero (ficam alternando pm1), então a série diverge ali. Portanto o intervalo de convergência é |x|<1/3.

Resposta

A série de potências é
f(x)=sumn=0^infty(-1)^n9^n x^2n
e ela converge para
|x|

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