Verifique que as equações abaixo não são exatas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é verificar se a equação diferencial
é exata. Isso faz parte do estudo de Equações Diferenciais Exatas. Para isso, vamos transformar a equação na forma
e depois conferir se as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
são iguais.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação dada para colocá-la na forma
. A equação original é:
Isso pode ser reescrito como:
Então, identificamos:
Passo 3
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
.
Primeiro,
:
Como
, sua derivada em relação a
é:
Passo 4
Em seguida, vamos calcular
, onde
.
Para isso, utilizamos a regra do produto e a regra da cadeia:
Calculando cada parte:
E,
Então,
Passo 5
Agora, comparamos as derivadas parciais:
e
Claramente,
, a menos que
, o que não é geral.
Resposta
Portanto, a equação diferencial
não é exata.