Verifique que as equações abaixo não são exatas.
d xd y=yx ln (yx)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é verificar se a equação diferencial d xd y = yx ln ( yx ) é exata. Isso faz parte do estudo de Equações Diferenciais Exatas. Para isso, vamos transformar a equação na forma M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 e depois conferir se as derivadas parciais de M em relação a y e de N em relação a x são iguais.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação dada para colocá-la na forma M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0. A equação original é:
d xd y = yx ln ( yx )
Isso pode ser reescrito como:
dx - yx ln ( yx ) dy = 0
Então, identificamos:
  • M(x,y) = 1
  • N(x,y) = -yx ln ( yx )

Passo 3

Agora, precisamos calcular as derivadas parciais de M em relação a y e de N em relação a x.
Primeiro, partial Mpartial y:
Como M(x,y) = 1, sua derivada em relação a y é:
partial Mpartial y = 0

Passo 4

Em seguida, vamos calcular partial Npartial x, onde N(x,y) = -yx ln ( yx ).
Para isso, utilizamos a regra do produto e a regra da cadeia:
partial Npartial x = - ( ddx ( yx ) ln ( yx ) + yx cdot ddx ln ( yx ) )
Calculando cada parte:
ddx ( yx ) = -yx^2
E,
ddx ln ( yx ) = -yx^2 yx = -1x
Então,
partial Npartial x = - ( -yx^2 ln ( yx ) + yx cdot -1x ) = yx^2 ln ( yx ) - yx^2

Passo 5

Agora, comparamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y = 0
e
partial Npartial x = yx^2 ln ( yx ) - yx^2
Claramente, partial Mpartial y neq partial Npartial x, a menos que yx^2 ln ( yx ) - yx^2 = 0, o que não é geral.

Resposta

Portanto, a equação diferencial d xd y = yx ln ( yx ) não é exata.

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