Sobre f(x, y)=x^2+y^2-x-y+3 na região D=(x, y) in R^2 ; x^2+y^2 <= 1
O produto entre o máximo e o mínimo de f é 14.

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos os valores máximo e mínimo da função
f(x,y)=x^2+y^2-x-y+3
no disco
D=(x,y)inR^2mid x^2+y^2<=1
e então calcular o produto entre esses extremos.

Passo 2

Procuramos pontos críticos no interior de D resolvendo
nabla f=(2x-1,,2y-1)=(0,0)
Isso dá
2x-1=0,2y-1=0;Longrightarrow;x=tfrac12,;y=tfrac12
Como l(tfrac12r)^2+l(tfrac12r)^2=tfrac12<=1, este ponto está em D.

Passo 3

Avalia-mos f no ponto crítico para obter o mínimo:
fl(tfrac12,tfrac12r) =tfrac14+tfrac14-tfrac12-tfrac12+3 =tfrac12-1+3 =tfrac52

Passo 4

O máximo em D ocorre no contorno x^2+y^2=1. Nesse caso
f(x,y)=x^2+y^2-x-y+3 =1-(x+y)+3 =4-(x+y)
Para maximizar f é preciso minimizar S=x+y sujeito a x^2+y^2=1. Usando
x+y=raiz2cosl(theta-tfracpi4r)
vemos que o mínimo de x+y é -raiz2, obtido em l(-tfrac1raiz2,-tfrac1raiz2r). Logo
fmax=4-(-raiz2)=4+raiz2

Passo 5

O produto entre mínimo e máximo é
fmincdot fmax =tfrac52,(4+raiz2) neq14

Resposta

Falsa. O produto correto é 52(4+raiz2)approx13,54, e não 14.

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