(2,0 pontos) Os operadores na terra, detectaram que o mecanismo pan-tilt que movimenta a câmera emperrou. Uma ideia para resolver o problema, proposta pelos engenheiros Amandova Fortunatinski e Rhyronopoulos Azevedoskos, consiste em tentar utilizar o braço manipulador do robô para empurrar a câmera, e assim, possivelmente desemperrar o mecanismo do pan-tilt. Para isto, é necessário programar o braço para que a torre na extremidade do mesmo atinja a câmera, sendo fundamental determinar a localização da câmera em relação à torre. Determine então, a partir da transformação { }^{\mathrm{C}} \mathrm{T}_{\mathrm{T}} obtida na questão anterior, a transformação homogênea { }^{\mathrm{T}} \mathrm{T}_{\mathrm{C}} que descreve a posição e orientação da câmera em relação à torre.
Passo 1
O enunciado nos dá a transformação homogênea {}^{C}T_{T}, que leva coordenadas do ponto expresso no sistema–torre (T) para o sistema–câmera (C). Queremos então achar {}^{T}T_{C}, que faz o caminho inverso (de C para T). O conteúdo é o cálculo da inversa de uma matriz de transformação homogênea.
Passo 2
Escrevemos
{}^{C}T_{T} = \begin{pmatrix} R & p\\\\ 0 & 1 \end{pmatrix},
onde R\in\mathbb{R}^{3\times3} é a matriz de rotação de T em relação a C e p\in\mathbb{R}^{3} é o vetor de translação da origem de T na base C.
Passo 3
A inversa de uma transformação homogênea \begin{pmatrix}R&p\\\ 0&1\end{pmatrix} é dada por