(2,0 pontos) Os operadores na terra, detectaram que o mecanismo pan-tilt que movimenta a câmera emperrou. Uma ideia para resolver o problema, proposta pelos engenheiros Amandova Fortunatinski e Rhyronopoulos Azevedoskos, consiste em tentar utilizar o braço manipulador do robô para empurrar a câmera, e assim, possivelmente desemperrar o mecanismo do pan-tilt. Para isto, é necessário programar o braço para que a torre na extremidade do mesmo atinja a câmera, sendo fundamental determinar a localização da câmera em relação à torre. Determine então, a partir da transformação { }^{\mathrm{C}} \mathrm{T}_{\mathrm{T}} obtida na questão anterior, a transformação homogênea { }^{\mathrm{T}} \mathrm{T}_{\mathrm{C}} que descreve a posição e orientação da câmera em relação à torre.

Passo 1

O enunciado nos dá a transformação homogênea {}^{C}T_{T}, que leva coordenadas do ponto expresso no sistema–torre (T) para o sistema–câmera (C). Queremos então achar {}^{T}T_{C}, que faz o caminho inverso (de C para T). O conteúdo é o cálculo da inversa de uma matriz de transformação homogênea.

Passo 2

Escrevemos
{}^{C}T_{T} = \begin{pmatrix} R & p\\\\ 0 & 1 \end{pmatrix},
onde R\in\mathbb{R}^{3\times3} é a matriz de rotação de T em relação a C e p\in\mathbb{R}^{3} é o vetor de translação da origem de T na base C.

Passo 3

A inversa de uma transformação homogênea \begin{pmatrix}R&p\\\ 0&1\end{pmatrix} é dada por
\begin{pmatrix} R & p\\[4pt] 0 & 1 \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} R^{T} & -\,R^{T}p\\[4pt] 0 & 1 \end{pmatrix}.
Logo,
{}^{T}T_{C} = \bigl({}^{C}T_{T}\bigr)^{-1} = \begin{pmatrix} R^{T} & -\,R^{T}p\\\\ 0 & 1 \end{pmatrix}.]

Resposta

{}^{T}T_{C} = \begin{pmatrix} R^{T} & -\,R^{T}p\\\\ 0 & 1 \end{pmatrix},
que é justamente a inversa de {}^{C}T_{T}=\begin{pmatrix}R&p\\\ 0&1\end{pmatrix}.

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