Seja
inteiros positivos tais que
é invertível módulo
e seja
um inverso para
.
(d) Mostre que 3 é invertível módulo 2020 e, usando o item (b), determine um inverso de 3 módulo 2020.
(d) Mostre que 3 é invertível módulo 2020 e, usando o item (b), determine um inverso de 3 módulo 2020.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
é invertível módulo
e, usando o resultado do item (b) (que diz que se
é invertível módulo
, então um inverso de
é a solução
da identidade de Bézout
), determinar explicitamente esse inverso. Vamos precisar do critério de invertibilidade em
(i.e.
) e do algoritmo de Euclides para encontrar coeficientes de Bézout.
Passo 2
Verificamos a condição de invertibilidade usando o máximo divisor comum:
portanto
é invertível módulo
.
Passo 3
Aplicamos o algoritmo de Euclides para expressar
como combinação linear de
e
:
Logo,
Passo 4
Da identidade de Bézout
vemos que uma solução para
é
. Pelo item (b),
é um inverso de
módulo
.
Passo 5
Para obter o inverso na classe
, reduzimos
módulo
:
Portanto
.
Resposta
Um inverso de
módulo
é
.