Seja A, B inteiros positivos tais que A é invertível módulo B e seja A0 um inverso para A.
(d) Mostre que 3 é invertível módulo 2020 e, usando o item (b), determine um inverso de 3 módulo 2020.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que 3 é invertível módulo 2020 e, usando o resultado do item (b) (que diz que se A é invertível módulo B, então um inverso de A é a solução x da identidade de Bézout Ax+By=1), determinar explicitamente esse inverso. Vamos precisar do critério de invertibilidade em Z/BZ (i.e. gcd(A,B)=1) e do algoritmo de Euclides para encontrar coeficientes de Bézout.

Passo 2

Verificamos a condição de invertibilidade usando o máximo divisor comum:
gcd(3,2020)=1
portanto 3 é invertível módulo 2020.

Passo 3

Aplicamos o algoritmo de Euclides para expressar 1 como combinação linear de 3 e 2020:
2020 = 3 times 673 + 1
Logo,
1 = 2020 - 3 times 673

Passo 4

Da identidade de Bézout
3cdot(-673) + 2020cdot1 = 1
vemos que uma solução para 3x + 2020y = 1 é x=-673. Pelo item (b), x é um inverso de 3 módulo 2020.

Passo 5

Para obter o inverso na classe bmod,2020, reduzimos -673 módulo 2020:
-673 equiv 2020 - 673 = 1347 pmod2020
Portanto 3cdot 1347 equiv 1 pmod2020.

Resposta

Um inverso de 3 módulo 2020 é 1347.

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