S-3.8

(a) Mostre que se um número a não é divisível por 3 , então o resto da divisão de a^2 por 3 é 1 .
(b) A partir desse dado, mostre que se um inteiro da forma a^2+b^2 é múltiplo de 3 , então a e b são ambos múltiplos de 3 .
S-3.9 Mostre que se n>1, então o número n^4+4 é composto.

Passo 1

S- 3.8 trata de aritmética modular em módulo 3: em (a) queremos mostrar que, se 3nmid a, então o resto de a^2 ao dividir por 3 é 1; em (b) usar esse fato para concluir que, se 3mid(a^2+b^2), então 3mid a e 3mid b. S- 3.9 pede para provar que, para n>1, o número n^4+4 é composto, o que será feito por fatoração de polinômios.

Passo 2

(Prova de S- 3.8 a) Como 3nmid a, temos duas possibilidades: aequiv1pmod3 ou aequiv2pmod3.
Se a=3k+1, então
a^2=(3k+1)^2=9k^2+6k+1=3(3k^2+2k)+1,
logo o resto é 1.
Se a=3k+2, então
a^2=(3k+2)^2=9k^2+12k+4=3(3k^2+4k+1)+1,
de novo resto 1. Assim, se 3nmid a então a^2bmod3=1.

Passo 3

(Prova de S- 3.8 b) Suponha 3 mid (a^2 + b^2). Como cada quadrado módulo 3 só pode ser 0 (se o número for múltiplo de 3) ou 1 (pelos casos acima), e só há duas escolhas de soma que dão 0 em Z3:
0 + 0 = 0 ou 1 + 2 = 0 mas 2 não ocorre para quadrados. Logo a única possibilidade é
a^2 equiv 0 pmod3 e b^2 equiv 0 pmod3,
i.e.\ 3 mid a e 3 mid b.

Passo 4

(S- 3.9) Para mostrar que n^4+4 é composto quando n>1, usamos a identidade de Sophie-Germain, que fatora expressões da forma a^4+4b^4.

Passo 5

Aplicando com a=n e b=1, escrevemos
n^4+4 = n^4+4n^2+4 ;-;4n^2 = (n^2+2)^2 - (2n)^2 = l(n^2+2n+2r)l(n^2-2n+2r)
Para n>1, ambos fatores ,n^2pm2n+2>1, portanto n^4+4 é produto de dois inteiros maiores que 1, logo é composto.

Resposta

(a) Se 3nmid a então a^2equiv1pmod3.
(b) Se 3mid(a^2+b^2) então 3mid a e 3mid b.
S- 3.9: n^4+4=(n^2+2n+2)(n^2-2n+2) é composto para n>1.

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