Determine se a reta está contida no plano:
r: x=2+t, y=3-2 t, z=5+4 t
Plano: 4 x-2 y+z=10

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a reta
r:;x=2+t, y=3-2t, z=5+4t
está inteiramente contida no plano
4x - 2y + z = 10,
O conteúdo de geometria analítica que vamos usar envolve vértice-diretor da reta, vetor normal do plano, produto escalar e, se necessário, encontrar o ponto de interseção.

Passo 2

Extraímos o vetor diretor da reta e o vetor normal do plano:
v=(1,-2,4) é o vetor diretor de r (coeficientes de t) e n=(4,-2,1) é o vetor normal do plano (coeficientes de x,y,z).

Passo 3

Calculamos o produto escalar
ncdotv =4cdot1 + (-2)cdot(-2) + 1cdot4 =4 + 4 + 4 =12 neq 0
Como ncdotvneq0, a reta não é paralela ao plano. Logo ela não pode estar inteiramente contida nele (uma reta contida seria obrigatoriamente paralela ao plano ou coincidente).

Passo 4

Para mostrar que há exatamente um ponto em comum, substituímos as equações paramétricas de r em 4x-2y+z=10:
4(2+t)-2(3-2t)+(5+4t)=10 Longrightarrow 8+4t-6+4t+5+4t=10 Longrightarrow 7+12t=10
Longrightarrow 12t=3 Longrightarrow t=tfrac14
Com isso o ponto de interseção é
Pl(2+tfrac14,;3-2cdottfrac14,;5+4cdottfrac14r) =l(tfrac94,,tfrac52,,6r)

Passo 5

Só existe um valor de t que leva a um ponto do plano, ou seja, há um único ponto de interseção. Portanto a reta não está contida no plano.

Resposta

A reta não está contida no plano.

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