Determine se as retas são coincidentes:
r: x=1+2 t, y=3-t, z=4+3 t
s: x=3+4 s, y=2-2 s, z=7+6 s

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos duas retas em R^3 dadas por
r:;x=1+2t,;y=3-t,;z=4+3t
e
s:;x=3+4s,;y=2-2s,;z=7+6s
O conteúdo aqui é geometria analítica no espaço: duas retas coincidem se e somente se seus vetores diretores são paralelos e existe pelo menos um ponto comum entre elas.

Passo 2

Vamos extrair os vetores diretores de cada reta e verificar se são paralelos.
O vetor diretor de r é
vec vr = (2,,-1,,3),
e o vetor diretor de s é
vec vs = (4,,-2,,6)
Como
vec vs = 2,(2,,-1,,3) = 2,vec vr,
vemos que vec vs e vec vr são paralelos.

Passo 3

Agora escolhemos um ponto de r (por exemplo em t=0) e testamos se ele pertence a s.
Quando t=0 em r, obtemos o ponto
P = (1,,3,,4)
Queremos encontrar s tal que
3+4s = 1, 2-2s = 3, 7+6s = 4
Da primeira equação vem
s = 1-34 = -tfrac12
Para s=-tfrac12:
2 - 2l(-tfrac12r) = 2+1 = 3, 7 + 6l(-tfrac12r) = 7 - 3 = 4
Os três componentes conferem com P, logo Pin s.

Passo 4

Concluímos que as retas têm vetores diretores paralelos e compartilham ao menos um ponto em comum. Portanto, elas são coincidentes.

Resposta

As retas r e s são coincidentes.

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