(Questão 01) [2,0 pontos] Faça a identificação entre as cônicas e suas equações, preenchendo com a letra correspondente a lacuna à esquerda de cada cônica.
a)
b)
c)
d)
( )Elipse
( )Hipérbole
( ) Circunferência
( ) Vazio
a)
b)
c)
d)
( )Elipse
( )Hipérbole
( ) Circunferência
( ) Vazio
Passo 1
O enunciado traz quatro equações de segundo grau em
e pede para associar cada letra
a um tipo de cônica: elipse, hipérbole, circunferência ou conjunto vazio. Para isso usamos a classificação geral de uma cônica dada por
onde o discriminante
indica o tipo:
-
: elipse (ou circunferência, se ainda e ); -
: parábola; -
: hipérbole.
Além disso, podemos verificar casos sem solução real para reconhecer o conjunto vazio.
Passo 2
Analisando
, temos
,
,
.
Logo é uma hipérbole.
Passo 3
Em
obtemos
, que não admite solução real para
. Portanto o conjunto de pontos reais é vazio.
Passo 4
Para \text{©};3x{2}+2xy+3y{2}+6\sqrt{2},x+2\sqrt{2},y+2=0) extraímos
,
,
.
Como
e não temos
com
, trata-se de uma elipse (rotacionada).
Passo 5
Em
reorganizamos:
que é a equação de uma circunferência de raio
.
Resposta
c) Elipse
a) Hipérbole
d) Circunferência
b) Vazio
a) Hipérbole
d) Circunferência
b) Vazio