(Questão 01) [2,0 pontos] Faça a identificação entre as cônicas e suas equações, preenchendo com a letra correspondente a lacuna à esquerda de cada cônica.
a) x^{2}-2 y^{2}=1
b) x^{2}+1=0
c) 3 x^{2}+2 x y+3 y^{2}+6 \sqrt{2} x+2 \sqrt{2} y+2=0
d) -x^{2}=-4+y^{2}
( )Elipse
( )Hipérbole
( ) Circunferência
( ) Vazio

Passo 1

O enunciado traz quatro equações de segundo grau em x,y e pede para associar cada letra a,b,c,d a um tipo de cônica: elipse, hipérbole, circunferência ou conjunto vazio. Para isso usamos a classificação geral de uma cônica dada por
Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0,
onde o discriminante \Delta = B^2 - 4AC indica o tipo:
  • \Delta<0: elipse (ou circunferência, se ainda A=C e B=0);
  • \Delta=0: parábola;
  • \Delta>0: hipérbole.
    Além disso, podemos verificar casos sem solução real para reconhecer o conjunto vazio.

Passo 2

Analisando a)\;x^{2}-2y^{2}=1, temos A=1, B=0, C=-2.
\Delta = B^2 - 4AC = 0^2 - 4\cdot1\cdot(-2) = 8>0.
Logo é uma hipérbole.

Passo 3

Em b)\;x^{2}+1=0 obtemos x^2=-1, que não admite solução real para x. Portanto o conjunto de pontos reais é vazio.

Passo 4

Para \text{©};3x{2}+2xy+3y{2}+6\sqrt{2},x+2\sqrt{2},y+2=0) extraímos A=3, B=2, C=3.
\Delta = B^2 - 4AC = 2^2 - 4\cdot3\cdot3 = 4 - 36 = -32<0.
Como \Delta<0 e não temos B=0 com A=C, trata-se de uma elipse (rotacionada).

Passo 5

Em d)\;-x^{2}=-4+y^{2} reorganizamos:
-x^2 - y^2 +4 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x^2 + y^2 -4 = 0,
que é a equação de uma circunferência de raio 2.

Resposta

c) Elipse
a) Hipérbole
d) Circunferência
b) Vazio

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