(Questão 02) [2,0 pontos] Faça a identificação entre as quádricas e suas equações, preenchendo com a letra correspondente a lacuna à esquerda de cada quádrica.
a) x^{2}-5 y^{2}+4 z^{2}=7
b) -\sqrt{3} x^{2}-y^{2}+8 z^{2}=81
c) -x^{2}-y+z^{2}=0
d) y^{2}+3 z^{2}=5-x^{2}
( )Sela (Parabolóide Hiperbólico)
( )Elipsóide
( )Hiperbolóide de 2 folhas
( )Hiperbolóide de 1 folha

Passo 1

O enunciado pede para associar cada equação de uma superfície quádricas ao seu tipo (elipsóide, hiperbolóide de uma ou duas folhas, parabolóide hiperbólico). O conteúdo envolve reconhecer o sinal dos coeficientes das variáveis quadráticas e comparar com as formas-padrão:
\text{elipsóide: } \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1,ó \text{hiperbolóide 1 folha: duas coef. positivos, um negativo }=1, \text{hiperbolóide 2 folhas: uma coef. positivo, dois negativos }=1, \text{parabolóide hiperbólico: duas variáveis ao quadrado com sinais opostos e uma linear.}óóóóá

Passo 2

Reescrevemos cada equação destacando os sinais dos termos quadráticos:
a) x^{2}-5y^{2}+4z^{2}=7
b) -\sqrt{3}\,x^{2}-y^{2}+8z^{2}=81
c) -x^{2}-y+z^{2}=0
d) y^{2}+3z^{2}=5-x^{2}; \Longrightarrow; x^{2}+y^{2}+3z^{2}=5

Passo 3

Classificação de a): \,x^{2}+4z^{2}-5y^{2}=7 tem duas parcelas positivas e uma negativa igual a constante positiva.
Isto corresponde à forma-padrão do hiperbolóide de uma folha.

Passo 4

Classificação de b): -\sqrt{3}\,x^{2}-y^{2}+8z^{2}=81 tem duas parcelas negativas e uma positiva igual a constante positiva.
Isto corresponde ao hiperbolóide de duas folhas.

Passo 5

Classificação de c): -x^{2}-y+z^{2}=0 pode ser escrito como
y = z^{2} - x^{2}.
Duas variáveis ao quadrado com sinais opostos e uma variável linear caracterizam o parabolóide hiperbólico (sela).

Passo 6

Classificação de d): x^{2}+y^{2}+3z^{2}=5 tem todas as parcelas quadráticas com coeficientes positivos igual a constante positiva.
Isto é um elipsóide.

Resposta

(c) Sela (Parabolóide Hiperbólico)
(d) Elipsóide
(b) Hiperbolóide de 2 folhas
(a) Hiperbolóide de 1 folha

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