Os pontos
e
são os vértices de um quadrado de lados consecutivos
e
. Sabendo que a origem
encontra-se no interior do quadrado, usando vetores, calcule a área do triângulo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um quadrado com vértices nos pontos
,
,
e
. A origem
está dentro do quadrado. Precisamos calcular a área do triângulo
usando vetores. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre vetores, coordenadas de pontos e como calcular áreas de triângulos no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as coordenadas dos pontos
e
. Sabemos que
e
são lados consecutivos do quadrado. Então, o vetor
vai ser igual ao vetor
, já que os lados de um quadrado têm o mesmo comprimento e são perpendiculares.
Vamos calcular o vetor
:
Passo 3
Como
é perpendicular a
e tem o mesmo comprimento, vamos usar uma rotação de 90 graus para encontrar
. A rotação de um vetor
em 90 graus para a esquerda resulta em
.
Então,
Passo 4
Agora, sabemos que
. Vamos calcular as coordenadas de
:
Passo 5
Para encontrar o ponto
, sabemos que
é igual a
, já que são lados opostos do quadrado. Então,
.
Vamos calcular
:
Passo 6
Agora que temos as coordenadas de todos os pontos
e
, podemos calcular os vetores
e
para usar na fórmula da área do triângulo.
Passo 7
A área de um triângulo formado por dois vetores
e
é dada por:
Onde
é o produto vetorial, que no plano é calculado como:
Vamos calcular o produto vetorial de
e
:
O valor absoluto é 12.
Passo 8
Finalmente, calculamos a área do triângulo
:
Resposta
A área do triângulo
é 6 unidades de área.