Os pontos A=(-2,0), B=(0,-4), C e D são os vértices de um quadrado de lados consecutivos A B e B C. Sabendo que a origem O=(0,0) encontra-se no interior do quadrado, usando vetores, calcule a área do triângulo DOC.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um quadrado com vértices nos pontos A=(-2,0) , B=(0,-4) , C e D . A origem O=(0,0) está dentro do quadrado. Precisamos calcular a área do triângulo DOC usando vetores. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre vetores, coordenadas de pontos e como calcular áreas de triângulos no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as coordenadas dos pontos C e D . Sabemos que AB e BC são lados consecutivos do quadrado. Então, o vetor AB vai ser igual ao vetor BC , já que os lados de um quadrado têm o mesmo comprimento e são perpendiculares.
Vamos calcular o vetor AB :
AB = B - A = (0 - (-2), -4 - 0) = (2, -4)

Passo 3

Como BC é perpendicular a AB e tem o mesmo comprimento, vamos usar uma rotação de 90 graus para encontrar BC . A rotação de um vetor (x, y) em 90 graus para a esquerda resulta em (-y, x) .
Então,
BC = (-(-4), 2) = (4, 2)

Passo 4

Agora, sabemos que C = B + BC . Vamos calcular as coordenadas de C :
C = (0, -4) + (4, 2) = (0 + 4, -4 + 2) = (4, -2)

Passo 5

Para encontrar o ponto D , sabemos que AD é igual a BC , já que são lados opostos do quadrado. Então, AD = BC .
Vamos calcular D :
D = A + AD = (-2, 0) + (4, 2) = (-2 + 4, 0 + 2) = (2, 2)

Passo 6

Agora que temos as coordenadas de todos os pontos D = (2,2) e C = (4,-2) , podemos calcular os vetores DO e CO para usar na fórmula da área do triângulo.
DO = O - D = (0 - 2, 0 - 2) = (-2, -2)
CO = O - C = (0 - 4, 0 - (-2)) = (-4, 2)

Passo 7

A área de um triângulo formado por dois vetores u e v é dada por:
Área = 12 | u times v | Á
Onde u times v é o produto vetorial, que no plano é calculado como:
u times v = ux vy - uy vx
Vamos calcular o produto vetorial de DO e CO :
DO times CO = (-2)(2) - (-2)(-4) = (-4) - (8) = -12
O valor absoluto é 12.

Passo 8

Finalmente, calculamos a área do triângulo DOC :
Área = 12 times 12 = 6 Á

Resposta

A área do triângulo DOC é 6 unidades de área.

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