Qual a soma dos múltiplos de 3 compreendidos entre 100 e 200 ?

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a soma dos múltiplos de 3 compreendidos entre 100 e 200.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • O passo entre múltiplos é 3 (são os números 3,6,9,\dots).
  • O intervalo é entre 100 e 200. Note que 100 e 200 não são múltiplos de 3, então os extremos efetivos serão o primeiro múltiplo de 3 maior ou igual a 100 e o último múltiplo de 3 menor ou igual a 200.

Passo 2

Escolha do método (motivo e fórmula que vamos usar). Multiples de 3 formam uma progressão aritmética (PA) com razão d=3. Para uma PA com primeiro termo a_1, último termo a_n e número de termos n, a soma dos n termos é dada por
S_n = n\cdot\frac{a_1+a_n}{2}.
Aqui: explicar o que cada símbolo significa:
  • a_1 é o primeiro múltiplo de 3 no intervalo;
  • a_n é o último múltiplo de 3 no intervalo;
  • n é a quantidade de termos (número de múltiplos de 3 entre os extremos);
  • S_n é a soma que queremos calcular.

Passo 3

Encontrar o primeiro múltiplo de 3 maior ou igual a 100. Dividindo:
\frac{100}{3}=33,333\ldots
Como 33,333\ldots não é inteiro, o próximo inteiro é 34. Portanto o primeiro múltiplo de 3 no intervalo é
a_1 = 34\cdot 3 = 102.

Passo 4

Encontrar o último múltiplo de 3 menor ou igual a 200. Dividindo:
\frac{200}{3}=66,666\ldots
O inteiro imediatamente menor é 66. Assim o último múltiplo de 3 no intervalo é
a_n = 66\cdot 3 = 198.

Passo 5

Calcular o número de termos n da PA. Para uma PA com razão d vale
n=\frac{a_n-a_1}{d}+1.
Substituindo a_1=102, a_n=198 e d=3:
n=\frac{198-102}{3}+1=\frac{96}{3}+1=32+1=33.
Logo existem 33 múltiplos de 3 entre 100 e 200.

Passo 6

Calcular a soma usando a fórmula da soma da PA:
S_{33}=33\cdot\frac{102+198}{2}=33\cdot\frac{300}{2}=33\cdot 150.
Agora multiplicando:
33\cdot 150=(30+3)\cdot150=30\cdot150+3\cdot150=4500+450=4950.
Portanto a soma pedida é 4950.

Passo 7

Verificação alternativa rápida (apenas para confirmar): os múltiplos de 3 entre 100 e 200 correspondem a 3 vezes os inteiros de 34 a 66. A soma desses inteiros é
\tilde{S}=33\cdot\frac{34+66}{2}=33\cdot\frac{100}{2}=33\cdot50=1650,
multiplicando por 3 3\cdot1650=4950, que confirma o resultado.

Resposta

4950

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