Qual a soma dos múltiplos de 3 compreendidos entre 100 e 200 ?
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a soma dos múltiplos de
compreendidos entre
e
.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- O passo entre múltiplos é
(são os números ). - O intervalo é entre
e . Note que e não são múltiplos de , então os extremos efetivos serão o primeiro múltiplo de maior ou igual a e o último múltiplo de menor ou igual a .
Passo 2
Escolha do método (motivo e fórmula que vamos usar). Multiples de
formam uma progressão aritmética (PA) com razão
. Para uma PA com primeiro termo
, último termo
e número de termos
, a soma dos
termos é dada por
Aqui: explicar o que cada símbolo significa:
-
é o primeiro múltiplo de no intervalo; -
é o último múltiplo de no intervalo; -
é a quantidade de termos (número de múltiplos de entre os extremos); -
é a soma que queremos calcular.
Passo 3
Encontrar o primeiro múltiplo de
maior ou igual a
. Dividindo:
Como
não é inteiro, o próximo inteiro é
. Portanto o primeiro múltiplo de
no intervalo é
Passo 4
Encontrar o último múltiplo de
menor ou igual a
. Dividindo:
O inteiro imediatamente menor é
. Assim o último múltiplo de
no intervalo é
Passo 5
Calcular o número de termos
da PA. Para uma PA com razão
vale
Substituindo
,
e
:
Logo existem
múltiplos de
entre
e
.
Passo 6
Calcular a soma usando a fórmula da soma da PA:
Agora multiplicando:
Portanto a soma pedida é
.
Passo 7
Verificação alternativa rápida (apenas para confirmar): os múltiplos de
entre
e
correspondem a
vezes os inteiros de
a
. A soma desses inteiros é
multiplicando por
dá
, que confirma o resultado.