Encontre a solução do problema de valor inicial dado. Esboce o gráfico da solução e descreva seu comportamento quando
.
Passo 1
O problema de valor inicial é resolver
com
e
. Esse conteúdo é EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes, e pra resolver a gente vai usar a equação característica.
Passo 2
A equação característica vem colocando
, o que dá o polinômio
Passo 3
Resolvendo essa equação:
daí as raízes são
e
, e a solução geral fica
Passo 4
Agora calculamos a derivada
e aplicamos as condições em
:
Passo 5
Resolvendo esse sistema, subtraindo as duas equações:
leva a
e, em seguida,
. Portanto
Passo 6
O gráfico de
é uma curva que parte de
e cresce cada vez mais rápido. Quando
, a solução diverge para
Resposta
A solução do PVI é
. O gráfico é uma exponencial crescente que parte de 1 em
e cresce sem limite, de modo que
quando
.