Encontre a solução do problema de valor inicial dado. Esboce o gráfico da solução e descreva seu comportamento quando t infty.
y^prime prime+8 y^prime-9 y=0, y(0)=1, y^prime(0)=1

Passo 1

O problema de valor inicial é resolver y'' + 8y' - 9y = 0 com y(0)=1 e y'(0)=1. Esse conteúdo é EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes, e pra resolver a gente vai usar a equação característica.

Passo 2

A equação característica vem colocando y = e^rt, o que dá o polinômio
r^2 + 8r - 9 = 0

Passo 3

Resolvendo essa equação:
daí as raízes são e , e a solução geral fica

Passo 4

Agora calculamos a derivada
y'(t) = C1 e^t - 9 C2 e^-9t
e aplicamos as condições em t=0:
C1 + C2 = 1,
C1 - 9C2 = 1

Passo 5

Resolvendo esse sistema, subtraindo as duas equações: 10C2=0 leva a C2=0 e, em seguida, C1=1. Portanto
y(t) = e^t

Passo 6

O gráfico de y(t)=e^t é uma curva que parte de y(0)=1 e cresce cada vez mais rápido. Quando t to infty, a solução diverge para

Resposta

A solução do PVI é y(t)=e^t. O gráfico é uma exponencial crescente que parte de 1 em t=0 e cresce sem limite, de modo que y(t)to +infty quando ttoinfty.

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