Determine a reta tangente à parábola
x^2=16 y que é perpendicular à reta 2 x+4 y=7, indicando o ponto de tangência.

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente à parábola
x^2=16,y
que seja perpendicular à reta
2x+4y=7
O conteúdo envolvido é geometria de curvas e derivadas: vamos precisar achar o coeficiente angular da reta dada, usar o fato de que dois retas são perpendiculares quando o produto de seus coeficientes angulares é -1, obter o coeficiente angular do lugar geométrico dado pela derivada da parábola e, por fim, montar a equação da reta tangente no ponto de tangência.

Passo 2

Reescrevendo a reta dada em forma explicita, isolamos y:
2x+4y=7 Longrightarrow 4y = -2x + 7 Longrightarrow y = -12,x + 74
Dessa forma, o coeficiente angular dessa reta é
mdada = -tfrac12
Para que a reta tangente seja perpendicular a essa, seu coeficiente angular mt deve satisfazer
mt cdot mdada = -1 Longrightarrow mt cdot l(-tfrac12r) = -1 Longrightarrow mt = 2

Passo 3

Na parábola x^2=16y, vemos y = tfracx^216. Derivando em relação a x, obtemos o coeficiente angular da reta tangente em um ponto (x0,y0):
y = x^216 Longrightarrow dydx = 2x16 = x8
Igualamos esse valor a mt = 2:
x08 = 2 Longrightarrow x0 = 16
Substituindo em x^2=16y para achar y0:
16^2 = 16,y0 Longrightarrow 256 = 16,y0 Longrightarrow y0 = 16
Logo, o ponto de tangência é l(16,16r) e o coeficiente angular no ponto é mt=2.

Passo 4

Escrevemos a equação da reta tangente usando a forma ponto-de-classe:
y - y0 = mt,(x - x0) Longrightarrow y - 16 = 2,(x - 16)
Desenvolvendo:
y - 16 = 2x - 32 Longrightarrow y = 2x - 16

Resposta

A reta tangente à parábola x^2=16y perpendicular a 2x+4y=7 é
y = 2x - 16,
e o ponto de tangência é (16,16).

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