Determine a reta tangente à parábola
que é perpendicular à reta
, indicando o ponto de tangência.
Passo 1
O enunciado pede a reta tangente à parábola
que seja perpendicular à reta
O conteúdo envolvido é geometria de curvas e derivadas: vamos precisar achar o coeficiente angular da reta dada, usar o fato de que dois retas são perpendiculares quando o produto de seus coeficientes angulares é
, obter o coeficiente angular do lugar geométrico dado pela derivada da parábola e, por fim, montar a equação da reta tangente no ponto de tangência.
Passo 2
Reescrevendo a reta dada em forma explicita, isolamos
:
Dessa forma, o coeficiente angular dessa reta é
Para que a reta tangente seja perpendicular a essa, seu coeficiente angular
deve satisfazer
Passo 3
Na parábola
, vemos
. Derivando em relação a
, obtemos o coeficiente angular da reta tangente em um ponto
:
Igualamos esse valor a
:
Substituindo em
para achar
:
Logo, o ponto de tangência é
e o coeficiente angular no ponto é
.
Passo 4
Escrevemos a equação da reta tangente usando a forma ponto-de-classe:
Desenvolvendo:
Resposta
A reta tangente à parábola
perpendicular a
é
e o ponto de tangência é
.