Determine a reta tangente à parábola
y^2=8 x que é paralela à reta 2 x+2 y=3, indicando o ponto de tangência;

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente à parábola y^2=8x que seja paralela à reta 2x+2y=3. Aqui vamos precisar de derivação implícita para obter o coeficiente angular da parábola e depois igualá-lo ao da reta dada.

Passo 2

Primeiro encontramos o coeficiente angular da reta 2x+2y=3. Reescrevendo em forma explícita:
2y=-2x+3 Longrightarrow y=-x+tfrac32
Logo o seu coeficiente angular é -1.

Passo 3

Agora derivamos implicitamente a parábola y^2=8x. Diferenciando ambos os lados em relação a x,
2y,dydx=8 Longrightarrow dydx=82y=4y
Esse é o coeficiente angular da reta tangente em um ponto genérico (x,y) da curva.

Passo 4

Para que a tangente seja paralela à reta dada, igualamos dydx=-1:
4y=-1 Longrightarrow y=-4
Substituindo y=-4 na equação da parábola,
(-4)^2=8x Longrightarrow 16=8x Longrightarrow x=2
O ponto de tangência é (2,-4).

Passo 5

A equação da reta tangente com coeficiente angular -1 passando por (2,-4) é
y-(-4)=-1l(x-2r) Longrightarrow y+4=-x+2 Longrightarrow x+y+2=0

Resposta

A reta tangente é
x+y+2=0
e o ponto de tangência é (2,-4).

Exercícios relacionados