Se uma matriz A é inversível, então aplicando a eliminação de Gauss na matriz [A mid I] encontraremos [I mid A^-1], onde I é a matriz identidade. Encontre a inversa das matrizes abaixo usando eliminação de Gauss-Jordan:
[rrrr-1 & 0 & -1 & 0 5 & 4 & 0 & 1 2 & 0 & 1 & 0 3 & 2 & 0 & 1]

Passo 1

A gente quer inverter a matriz
A = -1 & 0 & -1 & 0 5 & 4 & 0 & 1 2 & 0 & 1 & 0 3 & 2 & 0 & 1
usando Gauss–Jordan. Para isso, montamos a matriz aumentada [Amid I] e aplicamos operações elementares até chegar em l[Imid A^-1r].

Passo 2

Escrevendo a matriz aumentada inicial:
[rrrr|rrrr -1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 5 & 4 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 2 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 3 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 3

Pivot na coluna 1: multiplico a linha 1 por -1 e zero as entradas abaixo
L1& -L1, L2& L2 - 5L1, L3& L3 - 2L1, L4& L4 - 3L1
Isso produz
[rrrr|rrrr 1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 0 & 4 & -5 & 1 & 5 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & -1 & 0 & 2 & 0 & 1 & 0 0 & 2 & -3 & 1 & 3 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 4

Pivot na coluna 2: divido a linha 2 por 4 e zero a entrada em L4
L2& tfrac14L2, L4& L4 - 2L2
O resultado é
[rrrr|rrrr 1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & -tfrac54 & tfrac14 & tfrac54 & tfrac14 & 0 & 0 0 & 0 & -1 & 0 & 2 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & -tfrac12 & tfrac12 & tfrac12 & -tfrac12 & 0 & 1 ]

Passo 5

Pivot na coluna 3: multiplico a linha 3 por -1 e zero as entradas em L1,L2,L4
L3& -L3, L1& L1 - L3, L2& L2 + tfrac54,L3, L4& L4 + tfrac12,L3
Depois dessa etapa temos
[rrrr|rrrr 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & tfrac14 & -!1 & tfrac14 & -!1 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & -2 & 0 & -1 & 0 0 & 0 & 0 & tfrac12 & -tfrac12 & -tfrac12 & -tfrac12 & 1 ]

Passo 6

Pivot na coluna 4: multiplico a linha 4 por 2 e zero as entradas em L2
L4& 2L4, L2& L2 - tfrac14,L4
Isso leva a
[rrrr|rrrr 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & 0 & -1 & tfrac12 & -1 & -tfrac12 0 & 0 & 1 & 0 & -2 & 0 & -1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & -1 & -1 & 2 ]
Agora a parte esquerda já é a identidade, então a direita é A^-1

Resposta

A^-1 = 1 & 0 & 1 & 0 -1 & tfrac12 & -1 & -tfrac12 -2 & 0 & -1 & 0 -1 & -1 & -1 & 2

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