Se uma matriz A é inversível, então aplicando a eliminação de Gauss na matriz [A mid I] encontraremos [I mid A^-1], onde I é a matriz identidade. Encontre a inversa das matrizes abaixo usando eliminação de Gauss-Jordan:
[lll2 & 1 & 1 1 & 0 & 1 0 & 3 & 1]

Passo 1

O enunciado pede a inversa da matriz
A = 2 & 1 & 1 1 & 0 & 1 0 & 3 & 1
usando o método de Gauss–Jordan. A ideia é formar a matriz aumentada [Amid I], aplicar operações elementares de linha até que o bloco esquerdo vire a identidade I. Então o bloco direito será A^-1.

Passo 2

Primeiro escrevemos a matriz aumentada e, para ter um pivô 1 na posição (1,1), trocamos a linha 1 com a linha 2. Depois zeramos o elemento abaixo desse pivô:
[ccc|ccc 2 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 0 & 3 & 1 & 0 & 0 & 1 ] ;xrightarrow;R1rightarrow R2;; [ccc|ccc 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 2 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 0 & 3 & 1 & 0 & 0 & 1 ] ;xrightarrow;R2>=ts R2-2R1;; [ccc|ccc 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & -1 & 1 & -2 & 0 0 & 3 & 1 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 3

Agora usamos o pivô 1 em (2,2) para zerar o elemento na linha 3, coluna 2:
[ccc|ccc 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & -1 & 1 & -2 & 0 0 & 3 & 1 & 0 & 0 & 1 ] ;xrightarrow;R3>=ts R3-3R2;; [ccc|ccc 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & -1 & 1 & -2 & 0 0 & 0 & 4 & -3 & 6 & 1 ]

Passo 4

O pivô em (3,3) vale 4, então dividimos toda a linha 3 por 4 para ter 1 nessa posição:
[ccc|ccc 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & -1 & 1 & -2 & 0 0 & 0 & 4 & -3 & 6 & 1 ] ;xrightarrow;R3>=ts tfrac14R3;; [ccc|ccc 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & -1 & 1 & -2 & 0 0 & 0 & 1 & -tfrac34 & tfrac32 & tfrac14 ]

Passo 5

Por fim, eliminamos os elementos acima do pivô em :
Agora o bloco esquerdo é a identidade, e o direito é .

Passo 6

O bloco à direita da forma reduzida é exatamente a inversa A^-1.

Resposta

A^-1 = tfrac34 & -tfrac12 & -tfrac14 tfrac14 & -tfrac12 & tfrac14 -tfrac34 & tfrac32 & tfrac14

Exercícios relacionados