Encontrar a equação da reta tangente á parábola y=x^2 no ponto (2,4).
Comentário. A resolução deste exercício precisa do conhecimento do coeficiente de inclinação de uma reta, da propriedade particular de que as retas tangentes a uma parábola cortam num único ponto e quando uma equação de segundo grau possui uma única raiz.
A reta procurada tem a forma Cartesiana
y-4=m(x-2)
Para encontrar a interseção desta reta com a parábola y=x^2, precisa-se resolver a equação quadrática
x^2-4=m(x-2) Leftrightarrow x^2-m x+(2 m-4)=0
Sabemos que reta dada intersecta a parábola no único ponto (2,4). Ou seja, a equação (% & ) possui uma única raiz x=2. Assim, pelo teorema de Bhaskara, o discriminante é igual a zero:
triang<==m^2-4(2 m-4)=0
Isto é, m=4. Concluímos que a reta dada em é
y-4=4(x-2) Leftrightarrow y-4 x+4=0

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente à parábola y=x^2 no ponto (2,4).
Para isso vamos usar a forma ponto-inclinação da reta e a ideia de que, se a reta toca a parábola num único ponto, a equação resultante terá uma única raiz (discriminante zero).

Passo 2

Escrevemos a reta em forma ponto-inclinação, com inclinação m:
y-4 = m(x-2)
Para encontrar a interseção com a parábola, igualamos y=x^2 e substituímos:
x^2 = m(x-2)+4 Longrightarrow x^2 - m x + (2m-4)=0

Passo 3

Como a reta tangente corta a parábola num único ponto ( x=2), a quadrática acima deve ter discriminante nulo:
De<a = (-m)^2 - 4cdot1cdot(2m-4) = m^2 - 8m +16 = (m-4)^2 =0
Logo, m=4.

Passo 4

Substituindo m=4 em y-4= m(x-2), obtemos
y-4 = 4(x-2) Longrightarrow y-4 = 4x-8 Longrightarrow y = 4x -4

Resposta

A equação da reta tangente é
y = 4x - 4

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