Suponha que a d-b c neq 0, A=[lla & b c & d], A^-1=[ccx & y z & w] e I=[ll1 & 0 0 & 1]. Resolva a equação A A^-1=I para encontrar x, y, z e w e concluir que a inversa de A é
A^-1=[ccda d-b c & a d-b c -ca d-b c & aa d-b c] ou A^-1=1a d-b c[rrd & -b -c & a].

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = a & b c & d
com ;ad - bc neq 0, e uma matriz desconhecida
A^-1 = x & y z & w
tal que
A,A^-1 = I = 1 & 0 0 & 1
Precisamos achar x,y,z,w resolvendo essa equação matricial e concluir a fórmula da inversa de A.

Passo 2

Multiplicando A por A^-1 e igualando a I obtemos o sistema
a & b c & d x & y z & w = 1 & 0 0 & 1
Isso gera quatro equações:
a,x + b,z = 1, a,y + b,w = 0, c,x + d,z = 0, c,y + d,w = 1

Passo 3

Para encontrar x e z, consideramos o par
a,x + b,z = 1, c,x + d,z = 0
Usamos eliminação ou fórmula de Cramer. O determinante do sistema é
De<a = a & b c & d = ad - bc neq 0
Pela regra de Cramer,
x = 1 & b 0 & dDe<a = 1cdot d - bcdot 0ad - bc = dad - bc,
z = a & 1 c & 0De<a = acdot 0 - 1cdot cad - bc = -cad - bc

Passo 4

Analogamente, para
O mesmo determinante (\Delta = ad - bc] vale, e pela regra de Cramer:

Passo 5

Reunindo os resultados, a inversa A^-1 tem entrada
x = dad - bc, y = -bad - bc, z = -cad - bc, w = aad - bc

Resposta

A^-1 = dad - bc & -bad - bc [6pt] -cad - bc & aad - bc ;=;1ad - bc d & -b [4pt] -,c & a ]

Exercícios relacionados