Determine a reta tangente no ponto de abscissa x=3 da curva dada por y=2 raizx+1, para x >= 1. Faça um gráfico.

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente à curva
y = 2raizx+1, x>=1
no ponto de abscissa x=3.
Conteúdo: derivada de função composta (regra da cadeia) para obter o coeficiente angular da tangente e depois equação da reta.

Passo 2

Calcular a derivada tfracdydx da curva:
y = 2,(x+1)^tfrac12 Longrightarrow dydx = 2cdot12,(x+1)^-tfrac12cdot1 = (x+1)^-tfrac12 = 1raizx+1
Em x=3, o coeficiente angular vale
m = dydx|x=3 = 1raiz3+1 = 12
O ponto de tangência é l(3,y(3)r) com
y(3) = 2raiz3+1 = 2cdot2 = 4
Logo a reta tangente satisfaz
y - 4 = 12,(x - 3),
ou seja
y = 12,x + l(4 - tfrac32r) = 12,x + 52

Passo 3

Esboço do gráfico (eixo x horizontal, y vertical):
y
r 7+ cdot ← reta y = tfrac12x + tfrac52
6+ cdot
5+ cdot
4+ *
3+ cdot
2+ cdot
1+ cdot x
o ponto marcado com * é (3,4), o ponto de tangência; a linha de pontos desenha a curva y=2raizx+1 e a reta é y=tfrac12x + tfrac52 éêé

Resposta

A equação da reta tangente é
boxedy = 12,x + 52

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