Estude a derivabilidade da função f(x)=1x^2-1. Encontre a derivada no ponto de abscissa x=2.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a derivabilidade da função
f(x)=1x^2-1
e, em particular, encontrar a derivada no ponto de abscissa x=2. Vamos precisar determinar o domínio de f, justificar que f é diferenciável onde está definida e aplicar a regra do quociente (ou cadeia) para obter f'(x).

Passo 2

Para ter f(x) bem definida, o denominador não pode ser zero, isto é,
x^2-1neq0Longrightarrow xneqpm1
Logo, o domínio de f é Rsetminus,-1,1. Como polinômios são diferenciáveis em toda parte e a função inversa g(t)=1/t é diferenciável para tneq0, a composição que define f é diferenciável em todo ponto do seu domínio.

Passo 3

Usamos a regra do quociente para
f(x)=u(x)v(x), u(x)=1,;v(x)=x^2-1
Temos u'(x)=0 e v'(x)=2x. Assim,
f'(x) =u'(x),v(x)-u(x),v'(x)l(v(x)r)^2 =0cdot(x^2-1)-1cdot2x(x^2-1)^2 =-2x(x^2-1)^2

Passo 4

Agora avaliamos em x=2:
f'(2) =-2cdot2(2^2-1)^2 =-4(4-1)^2 =-49

Resposta

f'(2)=-49

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