Em quanto aumenta, aproximadamente, o volume de uma esfera, sendo que seu raio, R=15 \mathrm{~cm}, aumenta em 2 mm ?

Passo 1

O enunciado pergunta de quanto aumenta, aproximadamente, o volume de uma esfera quando seu raio passa de R=15,cm para R+ \Delta R, com \Delta R=2,mm. O conteúdo aqui é aplicação de diferencial de função: V(R)=\tfrac{4}{3}\pi R^3 e usamos dV\approx V'(R)\,dR.

Passo 2

Calculamos a derivada de V em relação a R. Como
V(R)=\frac{4}{3}\pi R^3,
temos
\frac{dV}{dR}=4\pi R^2.
Para variações pequenas, \Delta V\approx dV=4\pi R^2\,dR.

Passo 3

Convertendo \Delta R=2,mm para centímetros, obtemos dR=0,2,cm. Substituindo R=15,cm e dR=0,2,cm em dV,
dV=4\pi\,(15)^2\,(0,2)=4\pi\cdot225\cdot0,2=180\pi\quad\text{cm}^3.

Passo 4

Para ter uma noção numérica, usamos \pi\approx3{,}14, logo
180\pi\approx180\times3{,}14\approx565{,}2\quad\text{cm}^3.

Resposta

O volume aumenta aproximadamente 180\pi,c m^{3} (cerca de 565,c m^{3}).

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