Determine se as retas abaixo são paralelas ou ortogonais:
r:(x, y, z)=(0,0,0)+t(1,2,0) e s:(x, y, z)=(1,1,1)+t(-3,-6,0).

Passo 1

O enunciado dá duas retas em R^3 na forma paramétrica
r(t) = (0,0,0) + t,(1,2,0), s(u) = (1,1,1) + u,(-3,-6,0)
e pede para decidir se elas são paralelas ou ortogonais. Para isso vamos usar os vetores diretores e os critérios de paralelismo (proporcionalidade) e de ortogonalidade (produto escalar nulo).

Passo 2

Os vetores diretores são
vec v = (1,2,0) para r e vec w = (-3,-6,0) para s. Duas retas são paralelas se um vetor diretor for múltiplo escalar do outro. Note que
(-3,-6,0) = -3,(1,2,0),
logo vec w = -3,vec v e as retas são paralelas.

Passo 3

Duas retas são ortogonais se os vetores diretores satisfazem vec vcdotvec w=0. Aqui
vec vcdotvec w = 1cdot(-3) + 2cdot(-6) + 0cdot0 = -3 -12 = -15 neq 0,
logo não são ortogonais.

Passo 4

Como os vetores diretores são proporcionais, as retas são paralelas, e como o produto escalar não é zero, não são ortogonais.

Resposta

As retas são paralelas.

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