Encontre o ponto de interseção entre as retas:
r: x=2+3 t, y=-1+2 t, z=4 t
s: x=5-6 k, y=3-4 k, z=2-8 k

Passo 1

O enunciado pede o ponto de interseção entre as retas
r: x=2+3t,;y=-1+2t,;z=4t
s: x=5-6k,;y=3-4k,;z=2-8k
O conteúdo é interseção de retas em R^3: precisamos achar parâmetros t e k tais que as três coordenadas coincidam.

Passo 2

Igualamos as coordenadas de r e de s, formando o sistema
2+3t = 5 - 6k, -1+2t = 3 - 4k, 4t = 2 - 8k

Passo 3

Da terceira equação temos
4t = 2 - 8k Longrightarrow t = tfrac2 - 8k4 = tfrac12 - 2k

Passo 4

Substituindo t = tfrac12 - 2k na primeira equação:
2 + 3l(tfrac12 - 2kr) = 2 + tfrac32 - 6k = tfrac72 - 6k stackrel!= 5 - 6k
Isso implica tfrac72 = 5, ou seja 3,5 = 5, o que é impossível. Se tentarmos também na segunda equação, chegamos a -1+2(tfrac12-2k)=3-4k que dá 0-4k=3-4kRightarrow0=3, outra contradição.

Passo 5

Como a substituição leva a contradições em ambas as equações, não existem valores de t e k que igualem simultaneamente as três coordenadas.

Resposta

Não há ponto de interseção entre as retas r e s.

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