Verifique se \vec{v} \| r, onde:
\vec{v}=\left(-\frac{1}{5}, \frac{4}{3}\right), r:\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{1}{5}+t \\\ y=\frac{4}{3}-t\end{array}, t \in \mathbb{R}\right.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o vetor \vec{v}\) é paralelo à reta \(r\). As informações fornecidas são: - O vetor \(\vec{v}=\left(-\dfrac{1}{5},\dfrac{4}{3}\right)\). - A reta \(r\) está dada pela forma paramétrica \[\begin{cases} x=-\dfrac{1}{5}+t,\\[4pt] y=\dfrac{4}{3}-t, \end{cases}\quad t\in\mathbb{R}.
A pergunta explícita: verificar se \vec{v}\] é paralelo a \(r (responda sim ou não, com justificativa).]

Passo 2

O que significa “um vetor ser paralelo a uma reta” (explicação didática): uma reta escrita na forma paramétrica \,x=x_0+t d_1,\;y=y_0+t d_2\, tem um vetor diretor \vec{d}=(d_1,d_2). Um vetor \vec{v} é paralelo à reta se, e somente se, \vec{v} for paralelo ao vetor diretor \vec{d}. Em termos simples: \vec{v} deve ser múltiplo escalar de \vec{d}, isto é, existir k\in\mathbb{R} tal que
\vec{v}=k\vec{d}.
Isso quer dizer que as componentes correspondentes devem satisfazer duas equações simultâneas (uma para cada coordenada).

Passo 3

Vou extrair o vetor diretor da reta r (peguei isso das equações paramétricas dadas). Nas equações x=-\dfrac{1}{5}+t,\;y=\dfrac{4}{3}-t o coeficiente de t em x é 1 e em y é -1. Logo o vetor diretor é
\vec{d}=(1,-1).

Passo 4

Teste por proporcionalidade (método direto, passo a passo): buscamos k tal que
\left(-\dfrac{1}{5},\dfrac{4}{3}\right)=k(1,-1).
Isso gera o sistema de duas equações (uma por componente):
-\dfrac{1}{5}=k\cdot 1, \qquad \dfrac{4}{3}=k\cdot(-1).
Da primeira equação obtemos
k=-\dfrac{1}{5}.
Substituindo esse k na segunda equação o lado direito fica
k\cdot(-1) = -\dfrac{1}{5}\cdot(-1)=\dfrac{1}{5}.
Mas o lado esquerdo da segunda equação é \dfrac{4}{3}. Como
\dfrac{4}{3}\neq \dfrac{1}{5},
não existe k que satisfaça as duas equações ao mesmo tempo. Portanto, por esse teste, \vec{v} não é múltiplo escalar de \vec{d}, ou seja, não é paralelo à reta r.

Passo 5

Teste alternativo (determinante / produto vetorial em 2D, para confirmar): dois vetores \vec{a}=(a_1,a_2) e \vec{b}=(b_1,b_2) são paralelos se, e somente se, o determinante a_1 b_2 - a_2 b_1 for zero. Aqui tomamos \vec{a}=\vec{v}=\left(-\dfrac{1}{5},\dfrac{4}{3}\right) e \vec{b}=\vec{d}=(1,-1). Calculando:
\det(\vec{v},\vec{d}) = -\dfrac{1}{5}\cdot(-1) - \dfrac{4}{3}\cdot 1 = \dfrac{1}{5} - \dfrac{4}{3}.
Colocando em denominador comum 15:
\dfrac{1}{5} - \dfrac{4}{3} = \dfrac{3}{15} - \dfrac{20}{15} = -\dfrac{17}{15},
que é diferente de zero. Como o determinante é não-nulo, os vetores não são colineares, confirmando que \vec{v} não é paralelo a \vec{d} e, portanto, não é paralelo à reta r.

Passo 6

Observação intuitiva rápida (ajuda para lembrar na prova): em 2D, comparar “declives” também funciona — o declive (ou razão entre componentes) de \vec{d} é \dfrac{-1}{1}=-1 e o de \vec{v} é \dfrac{4/3}{-1/5}=\dfrac{4}{3}\cdot(-5)=-\dfrac{20}{3}; esses declives são diferentes, então não são paralelos. Conclusão consistente com os testes anteriores.

Resposta

Não, \vec{v} não é paralelo à reta r.

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