Determine se as retas r_{1} e r_{2} são paralelas, coincidentes ou concorrentes, determinando, no último caso, o ponto de interseção:
r_{1}: 2 x+y-1=0 e r_{2}:\left\{\begin{array}{l}x=-1+t \\\ y=-t\end{array} ; t \in \mathbb{R}\right.;

Passo 1

O enunciado pede para classificar duas retas no plano: paralelas, coincidentes ou concorrentes. O conteúdo é estudo de posições relativas de retas, que envolve comparar as direções (ou coeficientes angulares) e, se não forem paralelas, encontrar o ponto de interseção. Vamos usar forma explícita para r_{1} e vetor direção para r_{2}.

Passo 2

Reescrevemos r_{1}\colon 2x + y - 1 = 0 em forma y = mx + b para identificar o coeficiente angular:
y = -2x + 1
Logo, o coeficiente angular de r_{1} é m_{1} = -2.

Passo 3

Para r_{2}\colon \begin{cases}x = -1 + t\y = -t\end{cases}, o vetor direção é
(1,\,-1)
e o coeficiente angular é
m_{2} = \frac{-1}{1} = -1.

Passo 4

Como m_{1} = -2 e m_{2} = -1 são diferentes, as retas não são paralelas nem coincidentes, portanto são concorrentes. Para achar o ponto de interseção, substituímos x=-1+t e y=-t em 2x+y-1=0:
2(-1+t)+(-t)-1=0
-2+2t-t-1=0
t-3=0 t=3

Passo 5

Com t=3, obtemos as coordenadas do ponto:
x = -1 + 3 = 2, \quad y = -3.
Logo, o ponto de interseção é (2,-3).

Resposta

As retas são concorrentes e intersectam-se em (2,-3).

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