Determine se as retas são paralelas, concorrentes ou reversas:
r:(x-1) / 2=(y+3) /-1=z / 4, s:(x+2) / 4=y /-2=(z-1) / 8

Passo 1

O enunciado dá duas retas no espaço em forma simétrica:
r:x-12=y+3-1=z4, s:x+24=y-2=z-18
O conteúdo é geometria analítica: vamos extrair vetores-direção, verificar se são proporcionais (paralelismo) e depois testar se há ponto de interseção (concorrência) ou não (linhas paralelas ou reversas).

Passo 2

Extraímos os vetores-direção de cada reta:
Para r: v=(2,-1,4).
Para s: w=(4,-2,8).
Como w=2,v, os vetores são colineares, indicando que as retas são paralelas ou coincidentes.

Passo 3

Para checar coincidência, escrevemos as equações paramétricas e igualamos um ponto genérico de [r) a um de :
Para (parâmetro ):
Para (parâmetro ):
Igualando coordenadas:
As duas primeiras equações já dão contradição, logo não existe ((t,\lambda)] que satisfaça todas.

Passo 4

Não há ponto comum e os vetores-direção são proporcionais. Concluímos que as retas são paralelas (não coincidentes).

Resposta

As retas são paralelas.

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