Encontre uma equação simétrica da reta que é a interseção dos planos:
pi1: 2 x-y+z-3=0 e pi2: x+y-z-1=0

Passo 1

O enunciado nos dá dois planos
pi1:2x - y + z - 3 = 0
pi2:x + y - z - 1 = 0
e pede a equação simétrica da reta de interseção entre eles. O conteúdo envolve interseção de planos em R^3: primeiro obtemos o vetor diretor da reta pelo produto vetorial dos normais dos planos e depois achamos um ponto que satisfaça ambas as equações.

Passo 2

Os vetores normais são
n1 = (2,,-1,,1), n2 = (1,,1,,-1)
O vetor diretor d é
d = n1timesn2 = i & j & k 2 & -1 & 1 1 & 1 & -1 = (0,,3,,3)
e, simplificando,
d = (0,,1,,1)

Passo 3

Para encontrar um ponto P na reta, tomamos x=t e resolvemos o sistema
2t - y + z - 3 = 0, t + y - z - 1 = 0
Somando as duas equações vem
4 - 3t = 0 Longrightarrow t = tfrac43
Substituindo em, por exemplo, t + y - z - 1 = 0, obtemos
y - z = 1 - t = -tfrac13 Longrightarrow z = y + tfrac13
Escolhendo y=0 z=tfrac13. Logo um ponto da reta é
Pl(tfrac43,,0,,tfrac13r)

Passo 4

A equação vetorial da reta é
r = l(tfrac43,0,tfrac13r) + lambda,(0,1,1)
Como o componente em x do vetor diretor é zero, a forma simétrica fica
x = 43, y - 01 ;=;z - tfrac131

Resposta

x = 43, y1 = z - tfrac131

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