Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
sumn=1^infty n!(-10)^n.

Passo 1

Então, a gente tem uma série infinita que parece assim:
sumn=1^infty n!(-10)^n
O objetivo aqui é descobrir se essa série converge absolutamente, condicionalmente ou se diverge. Pra isso, vamos precisar entender sobre convergência de séries e aplicar alguns testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a série converge absolutamente. Isso significa que a gente olha para os valores absolutos dos termos da série e vê se essa nova série converge. Ou seja, vamos considerar:
sumn=1^infty | n!(-10)^n | = sumn=1^infty n!10^n
Para testar essa série, vamos usar o Teste da Razão (ou Teste do Quociente), que é ótimo para séries que envolvem fatoriais.

Passo 3

O Teste da Razão funciona assim: a gente calcula o limite da razão entre o termo seguinte e o termo atual quando limn to infty (n+1)!10^n+1 div n!10^n = limn to infty (n+1) times n!10 times 10^n times 10^nn! = limn to infty n+110 tende ao infinito. Se esse limite for maior que 1, a série diverge; se for menor que 1, converge absolutamente; e se for igual a 1, o teste não dá resposta e precisamos de outro método.
Vamos calcular:
limn to infty n+110 = infty
Isso simplifica para:
Como , pelo Teste da Razão, a série dos valores absolutos diverge.

Passo 4

Agora que vimos que a série dos valores absolutos diverge, precisamos verificar se a série original pode convergir condicionalmente. Como os termos da série original têm sinais alternados devido ao , podemos aplicar o Teste da Série Alternada.

Passo 5

O Teste da Série Alternada diz que a série limn to infty n!10^n = infty converge se:
  1. é decrescente: para todo grande.
  2. .
No nosso caso, . Vamos analisar:
  1. Decrescimento: cresce muito rápido e também, mas cresce mais rápido que qualquer exponencial, então na verdade aumenta conforme aumenta.
  2. Limite:
Como o limite não é zero, o Teste da Série Alternada também mostra que a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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